Gleichverteilung und Normalverteilung

Es gibt zwei typische Häufigkeitsverteilungen, denen wir auch in der Praxis häufig begegnen können. Es handelt sich um die Gleichverteilung und die Normalverteilung.

Gleichverteilung

Gleichverteilung bedeutet, dass in unserem Datensatz alle Werte gleich oft vorkommen. Wir können zum Beispiel zählen, wie viele Monate die Jahre 2000, 2001, …, 2009 hatten:

Wenn wir mit einem klassischen idealisierten Würfel würfeln, haben wir die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$, dass eine 1 fällt, die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$, dass eine 2 fällt, usw. Wir sprechen also von einer Gleichverteilung der Wahrscheinlichkeit, weil jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Eine ungleichmäßige Verteilung hätten wir, wenn wir einen gezinkten Würfel hätten, auf dem mit der Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ immer die Sechs fällt. Die übrigen Seiten können nicht ebenfalls die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ haben. Genauso könnten wir die Anzahl der Tage in den einzelnen Monaten zählen – nicht alle Monate haben gleich viele Tage, es würde sich also nicht um eine Gleichverteilung handeln.

Normalverteilung

Die Normalverteilung wird manchmal auch Gauß-Verteilung genannt. Sie wird nur bei stetigen Zufallsgrößen verwendet. Die Standardnormalverteilung hat diese Form:

Diese Kurve wird durch die sogenannte Gauß-Funktion beschrieben, die diese Form hat:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Die Funktion ist ziemlich kompliziert, du musst sie dir nicht merken. Wir sehen aber, dass wir die Normalverteilung mithilfe des Mittelwerts und der Standardabweichung/Varianz parametrisieren können. Für verschiedene Werte von Mittelwert und Standardabweichung können wir dann verschiedene Graphen erhalten:

Die Normalverteilung ist deshalb wichtig, weil sie verschiedene Verteilungen, denen wir real begegnen können, ziemlich genau nachbildet. Wir sehen, dass die Kurve immer genau ein globales Maximum hat, und zwar genau an der Stelle des Mittelwerts. Zum Beispiel hat die rote Kurve das Maximum an der Stelle X = 0, der Mittelwert dieser Größe ist also null. Die Kurve ist symmetrisch, sie ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden, die senkrecht zur X-Achse steht und durch den Mittelwert, also den Punkt X = 0, verläuft. Mit anderen Worten – die Kurve sieht links von null genauso aus wie rechts von null. Die grüne Kurve hat dieselben Eigenschaften, nur nicht mit der Null, sondern mit dem Punkt X = −2.

Die Normalverteilung kann die Verteilung der Intelligenz bzw. des IQ unter Menschen gut beschreiben. Der Mittelwert des IQ ist – per Definition – 100. Dabei gilt, dass es ungefähr gleich viele Menschen gibt, die einen IQ über 100 haben, und solche mit einem IQ unter 100. Leicht unterdurchschnittlich intelligente Menschen gibt es ungefähr so viele wie leicht überdurchschnittlich intelligente, und Dummköpfe gibt es so viele wie Genies. Auch wenn es manchmal nicht so aussieht :-). Ein Graph, der die ungefähre Verteilung des IQ zeigt:

Bei der Normalverteilung spielt die Standardabweichung eine große Rolle. Wenn wir eine Verteilung haben, die normal ist und die Standardabweichung σ hat, dann gilt, dass sich ungefähr 68 % der Werte im Intervall [μ − σ; μ + σ] befinden. Also weichen etwa 68 % der Werte höchstens um eine Standardabweichung vom Mittelwert ab. Ungefähr 95 % der Werte liegen dann im Intervall [μ − 2σ; μ + 2σ] und 99,7 % der Werte im Intervall [μ − 3σ; μ + 3σ]. Übersichtlich zeigt das die folgende Abbildung:

Links und Quellen

• Einige Abbildungen stammen aus Wikipedia, aus den Artikeln Normalverteilung und Intelligence.