Uniform fordeling og normalfordeling

Det finnes to typiske frekvensfordelinger som vi også kan møte jevnlig i praksis. Det er den uniforme fordelingen og normalfordelingen.

Uniform fordeling

Uniform fordeling betyr at alle verdiene i datasettet vårt forekommer like ofte. Vi kan for eksempel telle hvor mange måneder årene 2000, 2001, …, 2009 hadde:

Hvis vi kaster en klassisk idealisert terning, har vi sannsynligheten $\frac{1}{6}$ for å få 1, sannsynligheten $\frac{1}{6}$ for å få 2 og så videre. Vi snakker altså om en uniform sannsynlighetsfordeling, fordi hvert utfall har samme sannsynlighet.

En ikke-uniform fordeling ville vi hatt hvis vi hadde en jukseterning som med sannsynligheten $\frac{1}{3}$ alltid ga en sekser. De andre sidene kan ikke også ha sannsynligheten $\frac{1}{3}$. På samme måte kunne vi telle antall dager i de enkelte månedene. Ikke alle måneder har like mange dager, så det ville ikke vært en uniform frekvensfordeling.

Normalfordeling

Normalfordelingen kalles av og til også Gauss-fordelingen. Den brukes bare for kontinuerlige stokastiske variabler. Standard normalfordeling har denne formen:

Denne kurven er beskrevet av den såkalte Gauss-funksjonen, som har formen:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Funksjonen er ganske komplisert, og du trenger ikke huske den. Men vi ser at vi kan parametrisere normalfordelingen ved hjelp av gjennomsnittet og standardavviket/variansen. For ulike verdier av gjennomsnittet og standardavviket kan vi da få ulike grafer:

Normalfordelingen er viktig fordi den ganske godt etterligner ulike fordelinger som vi kan møte i virkeligheten. Vi ser at kurven alltid har ett globalt maksimum, og det ligger nettopp i punktet med gjennomsnittsverdien. Den røde kurven har for eksempel maksimum i punktet X = 0, så gjennomsnittsverdien til denne størrelsen er null. Kurven er symmetrisk, den er speilsymmetrisk om linjen som står vinkelrett på X-aksen og går gjennom gjennomsnittet, altså punktet X = 0. Med andre ord ser kurven til venstre for null akkurat slik ut som til høyre for null. Den grønne kurven har de samme egenskapene, bare ikke med null, men med punktet X = −2.

Normalfordelingen kan godt beskrive fordelingen av intelligens eller IQ blant folk. Gjennomsnittsverdien for IQ er, per definisjon, 100. Samtidig gjelder det at omtrent like mange mennesker har IQ høyere enn 100 som lavere enn 100. Det er omtrent like mange som er litt under gjennomsnittet i intelligens som litt over, og like mange dumrianer som genier. Selv om det av og til ikke virker slik :-). Grafen som viser den omtrentlige fordelingen av IQ:

For normalfordelingen spiller standardavviket en stor rolle. Hvis vi har en fordeling som er normal og har standardavviket σ, gjelder det at omtrent 68 % av verdiene ligger i intervallet [μ − σ, μ + σ]. Altså avviker omtrent 68 % av verdiene fra gjennomsnittet med høyst ett standardavvik. Omtrent 95 % av verdiene ligger i intervallet [μ − 2σ, μ + 2σ], og 99,7 % av verdiene i intervallet [μ − 3σ, μ + 3σ]. Følgende bilde viser det oversiktlig:

Kilder

• Noen av bildene er fra Wikipedia, artiklene Normalfordeling og Intelligence.