Ομοιόμορφη και κανονική κατανομή συχνοτήτων

Υπάρχουν δύο τυπικές κατανομές συχνοτήτων, που μπορούμε να συναντήσουμε συχνά και στην πράξη. Πρόκειται για την ομοιόμορφη κατανομή συχνοτήτων και για την κανονική κατανομή συχνοτήτων.

Ομοιόμορφη κατανομή συχνοτήτων

Ομοιόμορφη κατανομή σημαίνει ότι στο σύνολό μας όλες οι τιμές εμφανίζονται το ίδιο συχνά. Μπορούμε για παράδειγμα να μετρήσουμε πόσους μήνες είχαν τα έτη 2000, 2001, …, 2009:

Αν ρίξουμε ένα κλασικό εξιδανικευμένο ζάρι, έχουμε πιθανότητα $\frac{1}{6}$ να έρθει 1, πιθανότητα $\frac{1}{6}$ να έρθει 2 κ.ο.κ. Μιλάμε λοιπόν για ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας, επειδή κάθε αποτέλεσμα έχει την ίδια πιθανότητα.

Μη ομοιόμορφη κατανομή θα είχαμε, αν είχαμε ένα πειραγμένο ζάρι, στο οποίο με πιθανότητα $\frac{1}{3}$ θα έρχεται πάντα το έξι. Οι υπόλοιπες πλευρές δεν μπορούν να έχουν επίσης πιθανότητα $\frac{1}{3}$. Επίσης θα μπορούσαμε να μετρήσουμε το πλήθος των ημερών στους επιμέρους μήνες – δεν έχουν όλοι οι μήνες το ίδιο πλήθος ημερών, άρα δεν θα επρόκειτο για ομοιόμορφη κατανομή συχνοτήτων.

Κανονική κατανομή πιθανότητας

Η κανονική κατανομή λέγεται μερικές φορές και κατανομή του Gauss. Χρησιμοποιείται μόνο για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Η τυποποιημένη κανονική κατανομή έχει την εξής μορφή:

Αυτή η καμπύλη περιγράφεται από τη λεγόμενη συνάρτηση του Gauss, που έχει τη μορφή:

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Η συνάρτηση είναι αρκετά περίπλοκη, δεν χρειάζεται να τη θυμάσαι. Βλέπουμε όμως ότι την κανονική κατανομή μπορούμε να την παραμετροποιήσουμε με τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση/διακύμανση. Για διάφορες τιμές της μέσης τιμής και της απόκλισης μπορούμε να πάρουμε διαφορετικά γραφήματα:

Η κανονική κατανομή είναι σημαντική, επειδή προσομοιώνει αρκετά πιστά διάφορες κατανομές που μπορούμε να συναντήσουμε στην πραγματικότητα. Βλέπουμε ότι η καμπύλη έχει πάντα ένα ολικό μέγιστο, και μάλιστα ακριβώς στο σημείο της μέσης τιμής. Για παράδειγμα η κόκκινη καμπύλη έχει μέγιστο στο σημείο X = 0, η μέση τιμή αυτού του μεγέθους είναι λοιπόν μηδέν. Η καμπύλη είναι συμμετρική, έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα X και περνά από τη μέση τιμή, δηλαδή από το σημείο X = 0. Με άλλα λόγια – η καμπύλη αριστερά του μηδενός είναι ίδια με δεξιά του μηδενός. Η πράσινη καμπύλη έχει τις ίδιες ιδιότητες, μόνο που όχι με το μηδέν, αλλά με το σημείο X = −2.

Η κανονική κατανομή μπορεί να περιγράφει πιστά την κατανομή της ευφυΐας ή του IQ ανάμεσα στους ανθρώπους. Η μέση τιμή του IQ είναι – εξ ορισμού – 100. Ταυτόχρονα ισχύει ότι περίπου ίσο πλήθος ανθρώπων έχει IQ μεγαλύτερο από 100 και μικρότερο από 100. Οι ελαφρώς κάτω του μέσου όρου έξυπνοι είναι περίπου όσοι και οι ελαφρώς πάνω του μέσου όρου, και οι χαζοί είναι όσοι και οι ιδιοφυΐες. Αν και μερικές φορές δεν φαίνεται έτσι :-). Γράφημα που δείχνει την προσεγγιστική κατανομή του IQ:

Στην κανονική κατανομή μεγάλο ρόλο παίζει η τυπική απόκλιση. Αν έχουμε κατανομή που είναι κανονική και έχει απόκλιση σ, τότε ισχύει ότι περίπου το 68% των τιμών βρίσκεται στο διάστημα [μ − σ, μ + σ]. Δηλαδή περίπου το 68% των τιμών διαφέρει από τη μέση τιμή το πολύ κατά μία τυπική απόκλιση. Περίπου το 95% των τιμών βρίσκεται στο διάστημα [μ − 2σ, μ + 2σ] και το 99,7% των τιμών στο διάστημα [μ − 3σ, μ + 3σ]. Παραστατικά το δείχνει η παρακάτω εικόνα:

Πηγές

• Μερικές εικόνες προέρχονται από τη Wikipedia, τα άρθρα Κανονική κατανομή και Intelligence.