Yüzdelerle Hesaplama

Yüzdeler genellikle bir bütünün göreli bir kısmını belirtir; bütünün kendisi %100 olarak ifade edilir. Yüzdeleri her zaman kesir olarak yazabiliriz.

Bütünün Bir Parçası Olarak Yüzde

Bir bütünün bir kısmını ifade etmek istediğimizde yüzdeleri kullanırız. Yüzdelerin yerine “sınıfın dörtte biri sınavdan başarısız oldu” ya da “her iki kişiden biri erkek” gibi ifadeler de kullanabiliriz. Her zaman bir bütünümüz vardır, örneğin sınıftaki bütün öğrenciler, ve bunların dörtte birinin başarısız olduğunu söyleriz. Sınıfta 32 öğrenci varsa ve bunların dörtte biri başarısız olduysa, başarısız olan öğrencilerin sayısı şuna eşittir:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{bu da şununla aynıdır}\frac{32}{4}=8$$

İkinci durumda nüfusu yaklaşık 60.000 olan bir kasabamız olsun. Kasabada her iki kişiden biri erkekse bu, nüfusun yarısının erkek olduğu anlamına gelir; şöyle yazarız:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{bu da şununla aynıdır}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Ayrıca “kasabada her yüzüncü kişi matematikçi” de diyebilirdik. O zaman kasabada $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ matematikçi olurdu. “Her yüzüncü” demek, “nüfusun yüzde biri” demekle aynı şeydir.

Şimdi yüzde kavramını tanımlayabiliriz. Yüzde bir, %1 olarak yazılır ve bütünün yüz eşit parçasından birini ifade eder. Yani “kasabada her yüzüncü kişi matematikçi” dersek de “kasabadaki insanların %1’i matematikçi” dersek de aynı şeyi söylemiş oluruz. Bütünün %1’ini bulmak için bütünü $\frac{1}{100}$ ile çarparız ya da 100’e böleriz; ikisi aynı şeydir.

Yüzdeleri kolayca kesirlere çevirip onlarla çalışabiliriz. “Kasabada insanların yüzde x’inin saçı koyu renk” dersek bu, “kasabada $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ kişinin saçı koyu renk” demekle aynıdır. %100 ise bütünü, yani tüm nüfusu temsil eder. “Öğrencilerin %100’ü sınıfı geçti” cümlesi bütün öğrencilerin geçtiği anlamına gelir. “Öğrencilerin %0’ı sınıfta kaldı” cümlesi ise kimsenin kalmadığını söyler. Örnekler:

1. Kasaba halkının %35’i otobüsle yolculuk ediyor. Kaç kişi otobüsle yolculuk ediyor? %35, bütünün $\frac{35}{100}$’ü ile aynıdır (= “yüzde otuz beş”, yani bütünün yüzde otuz beşi). Şöyle hesaplarız: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Bunu kolayca hesaplamak için önce 60.000’i 100’e böler, çıkan sonucu 35 ile çarparız. Aslında şu düzenlemeyi yapıyoruz:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Bunu şöyle de düşünebiliriz: önce %1’e karşılık gelen kişi sayısını hesaplarız: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. %1’e 600 kişi karşılık gelir. Biz nüfusun %35’ini bilmek istiyoruz, yani bu 600 kişiyi 35 ile çarparız: 35 · 600 = 21.000.

2. Mehmet günde ortalama 500 TL kazanıyor. Bugün ortalama kazancının yalnızca %75’ini kazandı. Mehmet ne kadar kazandı? Yöntem hâlâ aynı. Bütün 500’dür ve %75’i $\frac{75}{100}$ kesrine çeviririz. Bu kesri $\frac{3}{4}$ kesrine sadeleştirebiliriz. Bütünü bu kesirle çarparız:

   $$\frac{3}{4}\cdot 500=\frac{3\cdot 500}{4}=3\cdot 125=375$$

3. Ertesi gün Mehmet’in şansı yaver gitti ve ortalama kazancının %150’sini kazandı. Ne kadar kazandı? Bütünün %100 olduğunu söylediğimize göre %100’den fazlası olabilir mi? Evet, olabilir. Nasıl biri “ortalamanın üç katı kadar para” kazanabiliyorsa, biri de ortalamasının %150’sini kazanabilir.

   Tamamen aynı şekilde ilerleriz. %150’yi $\frac{150}{100}$ kesrine çeviririz ve bu kesirle Mehmet’in ortalama kazancını, yani 500’ü çarparız:

   $$\frac{150}{100}\cdot 500=\frac{150\cdot 500}{100}=\frac{150\cdot 5}{1}=150\cdot 5=750$$

Orantı Olarak Yüzde

Yüzdeyle ifade edilen bir parçayı kolayca orantıya çevirebiliriz. Günde ortalama 500 TL kazanan ve bugün ortalama kazancının %75’ini kazanan Mehmet’le devam edelim. Bunu orantıyla şöyle yazabiliriz:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\%}100& \dots & 500\text{ TL}\\ \mathrm{\%}75& \dots & x\text{ TL}\end{array}$$

Doğru orantı olduğu için şu biçimi elde ederiz:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{500}$$

Denklemi 500 ile çarparız ve şunu buluruz:

$$\frac{75\cdot 500}{100}=x$$

Buradan sonuca kolayca ulaşırız:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 500}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 5}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 5\\ x& =& 375\end{array}$$

Gördüğün gibi aynı sayı çıktı.

Peki Parçayı Biliyor, Bütünü Bilmiyorsak?

Önceki örneklerde hep bütünün tam değerini biliyorduk ve ondan yüzde olarak verilen belli bir parçayı hesaplamamız gerekiyordu. Peki tam tersine parçayı biliyor, bütünü bilmiyorsak? Örnek: Mehmet’in büyük yeşil canavarlı 120 oyun kartı var. Yeşil canavar kartı sayısı saygıdeğer bir sayı olsa da Mehmet’te yine de Elif’in kartlarının yalnızca %60’ı kadar kart var. Elif’te kaç kart var?

Burada parçayı biliyoruz, ama bütünü bilmiyoruz — onu daha hesaplayacağız. Şu anda 120 kartın, Elif’in kartlarının %60’ına karşılık geldiğini biliyoruz. %1’e kaç kartın karşılık geldiğini bulmak için 120’yi 60’a bölmemiz yeter. 2 çıkar: 120/60 = 2. Yani %1, gerçekte iki yeşil canavar kartıdır. Bütünü hesapladığımız için — ve bütün her zaman %100 olduğundan — bu kart sayısını 100 ile çarparız. Ve 200 kart buluruz, doğru sonuç budur.

200’ün %60’ını hesaplayarak doğrulayabiliriz: Şunu çarparız

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Gördüğün gibi 200’ün %60’ı 120 eder; bu da tam olarak Mehmet’in sahip olduğu yeşil canavar kartlarının sayısıdır.

Yüzdeleri Toplama

Yüzdelerin geçtiği bir soruyu çözeceksek, yüzdeler yerine kesin değerleri hesaplayıp sonra onları toplamak her zaman en iyisidir. Sorunun metni şöyle olabilir: Ahmet 15.000, Emre 20.000 ve Zeynep 25.000 TL kazanıyor. Şimdi, Ahmet’in kazancının %30’u artı Emre’nin kazancının %40’ı artı Zeynep’in kazancının %25’i kadar kazanan Defne’nin kaç TL kazandığını hesapla.

Burada yüzdeli üç ifademiz var, ama her ifade başka bir bütünden geliyor. Ahmet, Emre ve Zeynep’in her birinin kazancı farklı. Bu yüzden önce Ahmet’in kazancının %30’unu hesaplarız. 15.000/100 = 150. Sonra 150 · 30 işlemini yaparız ve 4.500 buluruz. Sırada Emre’nin kazancının %40’ı var. 20.000/100 = 200. Yine 40 ile çarparız ve 200 · 40 = 8.000 elde ederiz. Son kısım Zeynep’in kazancının %25’i. O 25.000 kazanıyor, bunun %1’i 25.000/100 = 250. 25 ile çarpınca 250 · 25 = 6.250 buluruz. Şimdi bütün ara sonuçları toplamak yeter: 4.500 + 8.000 + 6.250 = 18.750. Defne 18.750 TL kazanıyor; bu epey güzel bir kazanç.

Yine de gerçekten yüzdeleri toplamamız gereken durumlarla karşılaşabiliriz. Yüzdeleri ancak tabanları, yani bütünleri aynıysa toplayabiliriz. Örneğin Kerem, Emre’nin kazancının %20’si artı Emre’nin kazancının %30’unu kazansaydı bu yüzdeleri toplayabilirdik, çünkü taban aynı — iki ifade de Emre’nin temel kazancıyla hesap yapıyor. Sonuç %20 + %30 = %50 olurdu. Kerem, Emre’nin yarısı kadar, yani on bin TL kazanır.

Yüzdeleri Art Arda Toplama Tuzağı

Şimdi şu durumu hayal et: Can ilk yıl 10.000 TL kazandı. İkinci yıl zam aldı ve maaşı %30 arttı. Üçüncü yıl yine zam aldı ve maaşı yine yükseldi, ama bu sefer yalnızca %10. Soru şu: Can’ın şimdiki maaşı kaçtır?

Bu tür sorularda yüzdeleri az önceki gibi toplamak çok cazip gelir. Sonuçta — görünüşe göre — hâlâ aynı tabanla, Can’ın maaşıyla hesap yapıyoruz. O hâlde %30 + %10 hesaplarız ve bunu temel maaşına ekleriz. Can böylece 14.000 TL kazanırdı. Ama öyle değil. Birlikte inceleyelim.

İlk yıl 10.000 kazanıyordu. İkinci yıl 10.000 + %30 kazandı. Bu 13.000 eder, bunu zaten kendin hesaplayabilirsin. Ve şimdi sonraki yıl maaşı yüzde on arttı. Ama dikkat! Taban artık ilk yıl kazandığı o on bin değil. Taban artık on üç bin! Ve bildiğimiz gibi yüzdeleri ancak aynı tabandan hesaplanıyorlarsa toplayabiliriz. Bizim örneğimizde ise taban farklı. İlk seferde 10.000’di, şimdi 13.000. Yani son yıl Can’ın maaşı 13.000 + %10 yani 14.300 oldu.

14.000’lik çözüm hem yanlıştı hem de zavallı Can’ın maaşını 300 TL eksik hesaplamıştık. Can’a haksızlık etme!

Matematik Kitabını İndirimde Al!

Klasik bir örnek de indirimle ilgilidir. Doğum günün için çok istediğin bir matematik kitabının mağazada durduğunu hayal et. Zaten başka ne isteyebilirsin ki? :-)

Ama yeni dönem başlamadan önce kitaba %20 zam geliyor. “Biraz bekleyeyim, kitabı sonra alırım” diyorsun. İyi de yapıyorsun, çünkü dönem başlayınca mağaza kitaba %20 indirim yapıyor. Soru şu — kitap zamdan önceki fiyatıyla aynı mı? Yoksa daha pahalı mı, daha ucuz mu?

Bazı insanların sağduyusu yine kitabın aynı fiyatta olacağını söyler, ama bu doğru değil. Hadi hesaplayalım. Diyelim ki kitap 300 TL’ydi. %20 zam, kitabın $\frac{20}{100}\cdot 300=60$ TL daha pahalı olması demek. Kitap böylece 360 TL oldu.

Ama %20 indirim artık 300 tabanından değil, 360 tabanından hesaplanır! Yani kitap $\frac{20}{100}\cdot 360=72$ TL ucuzlar. İndirimden sonra kitap 288 TL’dir.

(Ama aslına bakarsan, senin için “Tane Tane Matematik” varken kim matematik kitabı alır ki? ;-))

Binde (Promil)

Binde en sık deniz suyundaki tuz oranı gibi çözeltilerin içeriğini ifade ederken kullanılır. Bazı insanlar binde birin, yüzde birin binde biri olduğunu yanlış sanır, ama bu bir hata, dikkat et. Binde bir, bütünün binde biridir. Bunun dışında bindeyle hesap tamamen yüzdeyle hesap gibi yapılır. 5.000’in binde x’ini bulmak istiyorsan $\frac{x}{1000}\cdot 5000$ olarak hesaplarsın. Kesrin paydasında 100 yerine 1000 vardır. 5.000’in binde üçü şöyle olur: $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Binde, ‰ simgesiyle gösterilir. Buna göre $‰x=\mathrm{\%}\frac{x}{10}$ olur.

Daha fazlasını binde yazısında bulabilirsin.

Yüzde İşaretinin Yazımı

Türkçede yüzde işareti sayının önüne ve boşluk bırakmadan yazılır: %100, %25. Bazı dillerde (örneğin Çekçede) işaret sayıdan sonra gelir ve “100 %” (boşluklu) ile “100%” (boşluksuz) farklı anlama gelir — birincisi “yüzde yüz”, ikincisi “yüzde yüzlük” anlamına gelir. Türkçede böyle bir ayrım yoktur, her zaman %100 yazarız.

Yüzde Puan

Normal yüzdelerin yanı sıra yüzde puanlarımız da olabilir. Aradaki fark nedir? Firefox tarayıcısını iki yıl önce insanların %20’si kullanıyordu, ama bu yıl insanların %30’u kullanıyor olsun. Bu iki yıl arasındaki artış nedir? Artışın yüzde on olduğunu söylemek hata olurdu. Firefox’u önce insanların %20’si, sonra %30’u kullanıyorsa bu, şimdi onu öncekinden yarısı kadar daha fazla insanın kullandığı anlamına gelir. Bu da %50’lik bir artış demektir.

Ama yine de artışın %50 olduğunu söylemek biraz garip; yüzde değerinin on arttığını söylersek herkes için daha anlaşılır olurdu. Yüzde puan tam da bunun için var. Bu durumda Firefox tarayıcısının kullanım oranındaki artışın on yüzde puan olduğunu söyleyebiliriz. Yüzde puanları, iki yüzde değeri arasındaki basit farkı ifade etmek istediğimizde kullanabiliriz.