Köklü Sayılar

Kök alma, üs alma işleminin kısmi ters fonksiyonudur. En sık karekök ile çalışırız. Karekök, kendisiyle çarpıldığında kökü alınan sayıyı veren sayıyı arar.

Karekök

Kök için $\sqrt{}$ işaretini kullanırız. Kökün içindeki ifadeyi parantez içine yazmak zorunda kalmayalım diye ($\sqrt{}$(25) gibi), kökü alınacak ifadenin tamamının üstüne yatay bir çizgi çekeriz: $\sqrt{25}$.

Başlangıçta yalnızca bir gerçek sayının karekökü ile ilgileneceğiz. Karekökü şöyle tanımlarız:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

a sayısının karekökünü yine a sayısının karekökü ile çarparsan a sayısını elde edersin. Örneğin 9 sayısının karekökü 3’tür, çünkü 3 · 3 = 9.

Önceki ifadeyi şöyle de yazabiliriz:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Bu, önceki çarpmanın yalnızca üslü yazılışıdır.

Önemli nokta şudur: bu eşitlik yalnızca karekökün tanım kümesine ait a değerleri için geçerlidir. Negatif bir sayının karekökünü alamayız. Her pozitif sayının karekökünü alabiliriz, 0’ın da alabiliriz, ama negatif sayının alamayız. Peki bu neden olmuyor?

−25’in karekökünü hesaplamak istediğimizi varsayalım. Seçebileceğimiz sayı temelde iki türlüdür: pozitif ya da negatif. Pozitif seçersek 5 · 5 = 25 olur. 25 elde ettik, ama bizim istediğimiz −25. O hâlde −5’i deneyelim; ancak çarpınca yine 25 çıkar. Kısacası iki negatif sayıyı çarparsan sonuç pozitiftir. İki pozitif sayıyı çarptığında da öyle. −25 elde etmek için −5 · 5 çarpmak gerekirdi, ama bu olmaz, çünkü birbirinden farklı iki sayıyı çarpmış olursun (yalnızca işaretleri farklı olsa bile). Bu yüzden negatif bir sayının karekökü hesaplanamaz.

n. Dereceden Kök

Bir ifadenin karesini, küpünü, dördüncü kuvvetini alabildiğimiz gibi, bir gerçek sayının küpkökünü, dördüncü dereceden kökünü ve sonunda n. dereceden kökünü de alabiliriz. Bunu genellikle kök işaretinin sol üstüne yazarak gösteririz:

$$\sqrt[5]{32}$$

Bu gösterim, otuz iki sayısının beşinci dereceden kökü anlamına gelir. n. dereceden kökü, n. kuvvet yardımıyla şöyle tanımlarız:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{Z}}^{+},a,b\ge 0$$

n yerine 2 yazarsak, az önce tanımladığımız karekökü elde ederiz. Kısaca şöyle de tanımlayabiliriz:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Karekök için 2’yi yazmamak bir kuraldır, yani şu iki yazılış aynı anlama gelir:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Örneğin dördüncü dereceden kök için şu geçerli olur:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Somut bir örnek de verelim:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Tersine, 4 · 4 · 4 = 64 olur.

Negatif Sayının Kökü

Negatif bir sayının karekökünün olmadığını biliyoruz, çünkü a gerçek sayı olmak üzere a² hiçbir zaman negatif olmaz. Ancak daha yüksek dereceli köklerde yalnızca iki kez çarpmayız, dolayısıyla negatif bir sayının n. dereceden kökünün var olduğu durumlar olabilir. Peki durum nasıl?

Bizi rahatsız eden şey, negatif bir sayıyı iki kez çarptığımızda pozitif bir sayı elde etmemizdi. Sonuç −25 olsun diye −5 · 5 çarpımına ihtiyaç duyduk. Peki üç negatif sayıyı çarparsak ne olur? İlk iki negatif sayıyı çarpınca pozitif bir sayı elde ederiz. Son negatif sayıyla çarpınca ise yine negatif sayıya döneriz. Bir kez daha çarparsak (toplam dört kez), yine pozitif sayılardayız.

Buradan çıkan ders şudur: negatif bir sayıyı n kez çarparsak, n çiftse çarpım pozitif, n tekse çarpım negatiftir. Buradan, negatif bir sayının n. dereceden kökünün yalnızca n tek olduğunda var olduğu sonucunu çıkarırız. Örnek:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Üslü İfadeye Çevirme

Kökleri kolayca üslü ifadelere çevirebiliriz ve bunu sık sık yaparız, çünkü üslü hâliyle daha rahat işlem yapılır. Şu bağıntı geçerlidir:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

a sayısının n. dereceden kökü, a sayısını 1/n kuvvetine yükseltmekle aynıdır. Bu, ikinciden yüksek dereceli bir kökü bir yere girmen gerektiğinde de işine yarar. Çoğu zaman bu doğrudan yapılamaz, ama üsse bir kesir yazabilirsin. Dördüncü dereceden kökün grafiğini çizdirmek istiyorsan, şu fonksiyonun grafiğini çizdir:

$$f(x)=x^{1/4}.$$

En sık karekök için çevirme kullanılır:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Kök Formülleri

Kökü kolayca üslü ifadeye çevirebildiğimiz için, köklü ifadeler genel üslü ifadelerin formüllerini devralır. Şu bağıntılar geçerlidir:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Ayrıca şu temel bağıntılar da geçerlidir:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Kök Dışına Çıkarma

Kök dışına çıkarma, köklü ifadeleri sadeleştirmek için kullanılan bir tekniktir ve önceki formüllerden birine dayanır:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Kökün içindeki bazı ifadeleri çarpım olarak yazabiliriz, sonra bunu iki kök olarak ayırırız ve en sonunda bu köklerden birinin değerini hesaplarız. Tipik bir örnek şudur:

$$\sqrt{4x}$$

Bu ifadeyi önceki formüle göre şöyle yazabiliriz:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Şimdi 4’ün karekökünü alabiliriz:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Tam değeri korumak istiyorsak sıradan bir sayıyı da benzer şekilde yazabiliriz. Örnek:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$