Yanlış Pozitif Paradoksu

Bir hasta bir hastalık için test yaptırır ve test pozitif sonuç verir; yani test hastanın hasta olduğunu söyler. Ama hastanın gerçekten hasta olma olasılığı, hasta olmama olasılığından çok daha küçük olabilir.

Hikâye

Ankara’da yeni bir grip türü ortaya çıktı. Bir matematik öğrencisi doktora gider; doktor, bu gribe yakalanıp yakalanmadığını anlamak için ona bir test yapar. Bu testin başarı oranı %99,95. Bir hafta sonra öğrenci testin pozitif çıktığını öğrenir. Bir süre üzülür; sonuçta testin başarı oranı %99,95, yani yanılma ihtimali yalnızca %0,05. Ama sonra hesap yapmaya başlar ve sevinir. Gerçekten bu gribe yakalanmış olma olasılığının yalnızca yaklaşık %17 olduğunu bulur. Bu nasıl mümkün olabilir?

Hepsini baştan inceleyelim. Basit olsun diye hayali testimizin şöyle çalıştığını düşünelim. (Gerçekte bir testin %100 başarılı olması pek mümkün değildir, ama sadelik için bunu varsayalım.)

• Hastaysan, test %100 ihtimalle hasta olduğunu söyler.
• Hasta değilsen, test %99,95 ihtimalle doğru sonuç verir. Yani hasta olmasan bile testin %0,05 ihtimalle hasta olduğunu söylemesi mümkündür.
• Test hasta olmadığını söylerse, kesinlikle hasta değilsindir.
• Test hasta olduğunu söylerse, bu doğru da olabilir, hata da.

Ama bilmemiz gereken tek şey bu değil. Ayrıca ilgili toplumda kaç hasta olduğunu da bilmemiz gerekir.

Çok Sayıda Hasta

Şimdi testin farklı ortamlarda nasıl sonuç verdiğine bakalım. Bu durumda sonuç beklendiği gibi çıkar. A toplumunu düşün: burada 10.000 kişiden 200’ü gerçekten bu gribe yakalanmış; yani insanların %2’si enfekte. Testi bir milyon kişiye uyguluyoruz. Bu, 20.000 kişinin grip olduğu, diğerlerinin olmadığı anlamına gelir.

Test, kişi hastaysa her zaman başarılı olduğu için 20.000 kişiyi hasta olarak işaretler. Hasta olmayan 980.000 kişi kalıyor. Bunlarda testin başarı oranı %99,95, yani hata oranı %0,05’tir; bu yüzden hasta olmadıkları hâlde 980.000 · 0,0005 = 490 kişiyi hasta olarak işaretler.

Toplamda test 20.490 kişiyi hasta olarak işaretler. Ama bunların yalnızca 20.000’i gerçekten hastadır. Gerçekten hasta olma olasılığın bu durumda 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, yani yaklaşık %97,6’dır.

Az Sayıda Hasta

Şimdi B toplumuna bakalım: burada 10.000 kişiden yalnızca 1 kişi hasta; yani nüfusun %0,01’i hasta. Aynı testi bir milyon kişiye uyguluyoruz.

Bir milyon kişiden yalnızca 100 kişi hasta; test bu kişileri doğru olarak hasta işaretler. Geriye sağlıklı olan 999.900 kişi kalıyor. Bu kişilerin %0,05’ini, hatası yüzünden, test hasta olarak işaretler. Yani test 999.900 · 0,0005 ≈ 500 sağlıklı kişiyi hasta olarak işaretler. Diğerleri doğru olarak sağlıklı işaretlenir.

Toplamda test 100 + 500 = 600 kişiyi hasta olarak işaretler. Ama bu kişilerden gerçekten hasta olan yalnızca yüz kişidir; yani gerçekten hasta olma olasılığı yalnızca 100/600 = 1/6, yaklaşık %17’dir. Test seni hasta olarak işaretlese bile, hasta olmama şansın hâlâ çok daha yüksektir.

Tek Hasta

Önceki sonuç, yani test seni hasta olarak işaretlerse gerçekten hasta olma şansının yalnızca yaklaşık %17 olması, bazı insanlara şaşırtıcı gelebilir. Ama örneği uç noktaya götürürsek bu daha da iyi görülür.

Bir milyon kişilik bir toplum düşün; bunlardan yalnızca bir kişi hasta. Kullandığımız test, sağlıklı kişilerde %90 başarılı. Bu ne demek? Test, 999.999 sağlıklı kişinin %10’unu hasta olarak işaretler; yani yaklaşık yüz bin kişiyi hasta olarak işaretler. Oysa gerçekten hasta olan yalnızca bir kişidir. Test seni işaretlese bile, gerçekten hasta olma şansın yalnızca 1/100000, yani yaklaşık %0,001’dir.