Az orvosi paradoxon

Egy páciens elvégez egy tesztet valamilyen betegségre, a teszt pozitív eredményt ad, vagyis a teszt szerint a páciens beteg. A valóságban viszont annak a valószínűsége, hogy tényleg beteg, sokkal kisebb lehet annál, hogy nem az.

A történet

Történt, hogy Budapesten megjelent a sertésinfluenza. Egy matematika–fizika szakos egyetemista elmegy az orvoshoz, aki tesztet végez rajta, hogy elkapta-e ezt az influenzát, vagy sem. A teszt megbízhatósága 99,95%. Egy hét múlva az egyetemista megtudja, hogy a teszt pozitív lett. Egy ideig szomorú, hiszen a teszt megbízhatósága 99,95%, tehát az esélye, hogy a teszt téved, csak 0,05%. De aztán elkezd számolni, és felujjong. Rájön, hogy annak a valószínűsége, hogy tényleg elkapta a sertésinfluenzát, csupán körülbelül 17%. Hogyan lehetséges ez?

Menjünk végig az egészen. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el, hogy a képzeletbeli tesztünk így működhet. (A gyakorlatban egy teszt aligha lehetne 100%-os megbízhatóságú, de az egyszerűség kedvéért tegyük fel.)

• Ha beteg vagy, a teszt az esetek 100%-ában azt mondja, hogy beteg vagy.
• Ha nem vagy beteg, a teszt az esetek 99,95%-ában helyes. Tehát még ha nem is vagy beteg, az esetek 0,05%-ában a teszt azt mondja, hogy beteg vagy.
• Ha a teszt azt jelzi, hogy nem vagy beteg, biztosan nem vagy beteg.
• Ha a teszt azt jelzi, hogy beteg vagy, az lehet igaz is és hiba is.

Ez azonban még nem minden, amit tudnunk kell. Még azt is tudnunk kell, hány beteg van az adott populációban.

Sok beteg

Most nézzük meg, milyen eredményt ad a teszt különböző környezetekben. Ebben az esetben a várt eredmény születik. Képzeld el az A populációt, ahol 10 000 emberből 200 valóban sertésinfluenzás, vagyis az emberek 2%-a fertőzött. A tesztet egymillió emberen végezzük el. Ez azt jelenti, hogy 20 000 ember influenzás, a többi nem.

Mivel a teszt mindig sikeres, ha az illető beteg, 20 000 embert jelöl betegnek. Marad 980 000 ember, aki nem beteg. Itt a teszt megbízhatósága 99,95%, vagyis 0,05% a tévedése, így 980 000 · 0,0005 = 490 embert jelöl betegnek, pedig nem betegek.

Összesen tehát a teszt 20 490 embert jelöl betegnek. Ebből a számból viszont csak 20 000 ember beteg. Annak a valószínűsége, hogy tényleg beteg vagy, tehát 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, ami körülbelül 97,6%.

Kevés beteg

Nézzük a B populációt, ahol csak 1 ember beteg 10 000-ből, vagyis a lakosok 0,01%-a beteg. Ugyanezt a tesztet végezzük el egymillió emberen.

Egymillió emberből csak 100 ember beteg – őket a teszt helyesen jelöli betegnek. Marad 999 900 ember, aki egészséges. Ezek közül a teszt a hibája miatt 0,05%-ot jelöl betegnek. A teszt tehát 999 900 · 0,0005 ≈ 500 egészséges embert jelöl betegnek. A többieket helyesen jelöli egészségesnek.

Összesen 100 + 500 = 600 embert jelöl betegnek. Ezek közül viszont tényleg csak száz beteg, így annak a valószínűsége, hogy tényleg beteg vagy, csupán 100/600 = 1/6, körülbelül 17%. Még ha a teszt betegnek jelölt is, sokkal nagyobb az esélyed arra, hogy nem vagy beteg.

Egy beteg

Az előző eredmény, hogy ha a teszt betegnek jelöl, akkor valójában csak körülbelül 17% az esélyed, hogy tényleg beteg vagy, meglepő lehet. Még jobban látszik ez, ha a példát a végletekig visszük.

Vegyünk egy egymillió fős populációt, amelyben csak egyetlen ember beteg. A teszt, amellyel tesztelünk, az egészségeseknél 90%-os megbízhatóságú. Mit jelent ez? Hogy a teszt a 999 999 egészséges emberből 10%-ot betegnek jelöl, vagyis körülbelül százezer embert jelöl betegnek. Közben viszont csak egyetlen ember beteg valóban. Még ha a teszt téged is betegnek jelöl, csak 1/100000 az esélyed, hogy tényleg beteg vagy, vagyis körülbelül 0,001%.