Medizinisches Paradoxon

Ein Patient lässt einen Test auf eine Krankheit machen, der Test liefert ein positives Ergebnis, d. h., der Test sagt, dass der Patient die Krankheit hat. In Wirklichkeit kann aber die Wahrscheinlichkeit, dass er die Krankheit tatsächlich hat, viel kleiner sein als die, dass er sie nicht hat.

Die Geschichte

Es geschah, dass in Berlin die Schweinegrippe auftrat. Ein Mathestudent geht zum Arzt, der ihn einem Test unterzieht, ob er diese Grippe hat oder nicht. Dieser Test hat eine Trefferquote von 99,95 %. Nach einer Woche erfährt der Student, dass der Test positiv ausgefallen ist. Eine Weile ist er deshalb traurig, der Test hat doch eine Trefferquote von 99,95 %, also ist die Chance, dass er sich geirrt hat, nur 0,05 %. Aber dann fängt er an zu rechnen und jubelt. Er findet heraus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich die Schweinegrippe hat, nur etwa 17 % beträgt. Wie ist das möglich?

Versuchen wir, das Ganze durchzugehen. Der Einfachheit halber stellen wir uns vor, dass unser imaginärer Test so funktionieren könnte. (In der Praxis könnte ein Test kaum eine Trefferquote von 100 % haben, aber der Einfachheit halber nehmen wir das an.)

• Wenn du die Krankheit hast, sagt dir der Test in 100 % der Fälle, dass du krank bist.
• Wenn du die Krankheit nicht hast, ist der Test in 99,95 % der Fälle erfolgreich. Auch wenn du die Krankheit nicht hast, sagt der Test also in 0,05 % der Fälle, dass du sie hast.
• Wenn der Test anzeigt, dass du die Krankheit nicht hast, bist du bestimmt nicht krank.
• Wenn der Test anzeigt, dass du die Krankheit hast, kann das stimmen oder ein Fehler sein.

Das ist aber noch nicht alles, was wir wissen müssen. Wir müssen noch wissen, wie viele Kranke es in der jeweiligen Bevölkerung gibt.

Viele Kranke

Schauen wir uns jetzt an, wie der Test in verschiedenen Umgebungen ausfällt. In diesem Fall fällt er erwartungsgemäß aus. Stell dir eine Bevölkerung A vor, in der 200 von 10.000 Menschen wirklich die Schweinegrippe haben, also sind 2 % der Menschen infiziert. Wir führen den Test an einer Million Menschen durch. Das bedeutet, dass 20.000 Menschen die Grippe haben, die anderen nicht.

Weil der Test immer erfolgreich ist, wenn der Mensch die jeweilige Krankheit hat, bezeichnet er 20.000 Menschen als krank. Es bleiben 980.000 Menschen, die die Krankheit nicht haben. Hier hat der Test eine Trefferquote von 99,95 %, also eine Fehlerquote von 0,05 %, deshalb bezeichnet er 980.000 · 0,0005 = 490 Menschen als krank, obwohl sie nicht krank sind.

Insgesamt bezeichnet der Test also 20.490 Menschen als krank. Von dieser Anzahl sind aber nur 20.000 Menschen krank. Die Wahrscheinlichkeit, dass du die Krankheit tatsächlich hast, beträgt somit 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, das sind ungefähr 97,6 %.

Wenige Kranke

Schauen wir uns die Bevölkerung B an, in der nur 1 von 10.000 krank ist, die Krankheit haben also 0,01 % der Einwohner. Wir führen denselben Test an einer Million Menschen durch.

Von einer Million Menschen sind nur 100 Menschen krank – diese Menschen bezeichnet der Test richtig als krank. Es bleiben uns 999.900 Menschen, die gesund sind. Von diesen Menschen bezeichnet der Test wegen seines Fehlers 0,05 % als krank. Der Test bezeichnet also 999.900 · 0,0005 ≈ 500 gesunde Menschen als krank. Die anderen werden richtig als gesund bezeichnet.

Insgesamt bezeichnet er 100 + 500 = 600 Menschen als krank. Von diesen Menschen sind aber tatsächlich nur hundert krank, also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass du die Krankheit tatsächlich hast, nur 100/600 = 1/6, ungefähr 17 %. Auch wenn dich der Test als krank bezeichnet hat, hast du immer noch eine viel höhere Chance, dass du die Krankheit nicht hast.

Ein Kranker

Das vorherige Ergebnis, dass du, wenn dich der Test als krank bezeichnet, in Wirklichkeit nur eine Chance von etwa 17 % hast, wirklich krank zu sein, kann für manche überraschend sein. Noch besser sieht man es aber, wenn wir das Beispiel auf die Spitze treiben.

Nehmen wir eine Bevölkerung von einer Million Menschen an, von denen nur ein einziger Mensch krank ist. Der Test, mit dem wir testen, hat bei gesunden Menschen eine Trefferquote von 90 %. Was bedeutet das? Dass der Test von 999.999 gesunden Menschen 10 % als krank bezeichnet, d. h., er bezeichnet ungefähr hunderttausend Menschen als krank. Dabei ist aber tatsächlich nur ein Mensch krank. Auch wenn dich der Test als krank bezeichnet, hast du nur eine Chance von 1/100000, dass du die Krankheit tatsächlich hast, d. h. ungefähr 0,001 %.