St. Petersburg Paradoksu

St. Petersburg paradoksu istatistiği, karar vermeyi ve olasılığı birbirine karıştırır. St. Petersburg’da bir organizatör bize bir oyun öneriyor; bu oyunda belli miktarda para kazanabiliriz. Bizim görevimiz, bu oyuna girmenin adil bedelinin ne olması gerektiğini bulmaktır.

Oyunun Kuralları

Oyuna girersek görevli yazı tura atmaya başlar. İlk atışta yazı gelirse oyun biter ve bir euro kazanırız. Tura gelirse oyun devam eder. İkinci turda yine para atılır. Yazı gelirse oyun biter ve bir önceki olası kazancın iki katını, yani iki euro kazanırız. Tura gelirse devam ederiz. Üçüncü turda yazı gelirse dört euro kazanırız. Dördüncü turda yazı gelirse sekiz euro kazanırız.

Genelleştirirsek — yazı k. turda geldiyse 2^{k − 1} euro kazanmışızdır. Şimdi soru şu: bu oyuna girmenin adil bedeli ne olmalı?

Beklenen Değer

Adil fiyat, beklenen (ortalama) değere göre belirlenmelidir. Örneğin ortalamada yüz euro kazanabiliyorsak, bedel yüz euro olmalı, hatta oyunu düzenleyen de kazansın diye biraz daha fazla. Peki bizim oyunumuzda beklenen değer nedir? Her bir kazancı hangi olasılıklarla elde edebileceğimizi yazalım. İlk sütunda kazançlar, ikinci sütunda o kazanca ulaşma şansımız var. Örneğin ilk atışta yazı gelme şansı $\frac{1}{2}$’dir. Önce tura, sonra yazı gelme şansı $\frac{1}{4}$’dir. Ve böyle devam eder.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Şimdi beklenen değeri nasıl hesaplarız? Elde edebileceğimiz her tutarı, o tutara ulaşma olasılığıyla çarparız ve hepsini toplarız. Şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Beklenen değer sonsuzdur. Yani kazancın beklenen değeri, ideal durumda, sonsuz sayıda euro’dur. Bu kötü görünmüyor. Sorun şu ki, bu durumda oyuna giriş bedelinin de sonsuza eşit olması gerekir. Bu tabii ki saçmadır.

Bu paradoksu eleştirenler elbette sonsuz uzun süre oynayamayacağımızı ve sonsuz miktarda para kazanamayacağımızı öne sürerler; hatta maksimum yazı tura sayısını sonsuzdan belirli bir sonlu n sayısına “düşürsen” bile, kısa sürede dünyada kimsenin sahip olmadığı tutarlara ulaşırsın. Örneğin 41 atış sonunda 2⁴⁰ euro kazanmış olurdun; bu, yaklaşık bir trilyon euro (bin milyar euro) eder. On atış daha sonra bunun bin katını kazanırdın.

Sonlu Giriş Bedeli

Sonsuz sayıda euro’yu tabii ki kimse sana giriş bedeli olarak vermez. Yine de paradoks kısmen sonlu miktarda parayla da gösterilebilir. Her tam euro tutarı için, beklenen değerin tam istediğimiz değer çıkacağı bir maksimum atış sayısı vardır. Örneğin giriş bedelinin bin euro olmasını istiyorsak, maksimum atış sayısının 2000 olduğunu söyleriz. O zaman şu toplamı hesaplarız:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

O zaman beklenen değer 1000 euro olur. Giriş bedelinin D euro olmasını istiyorsak, maksimum atış sayısının 2D olduğunu söyleriz.

Ama elbette makul hiç kimse, bin euro’dan fazla kazanma şansı neredeyse hiç yokken örneğin bin euro giriş bedeli ödemez.

Diğer Kaynaklar

• İngilizce Vikipedi