Det medicinske paradoks

En patient gennemgår en test for en sygdom, og testen giver et positivt resultat, dvs. testen svarer, at patienten har sygdommen. I virkeligheden kan sandsynligheden for, at patienten faktisk har sygdommen, dog være meget mindre end sandsynligheden for, at vedkommende ikke har den.

Historien

Det skete, at der opstod svineinfluenza i København. En matematikstuderende går til lægen, som lader ham tage en test for, om han har denne influenza eller ej. Testen har en træfsikkerhed på 99,95 %. Efter en uge får den studerende at vide, at testen er positiv. Et øjeblik er han ked af det, testen har jo en træfsikkerhed på 99,95%, så chancen for, at den tog fejl, er kun 0,05 %. Men så begynder han at regne og jubler. Han finder ud af, at sandsynligheden for, at han virkelig har svineinfluenza, kun er cirka 17 %. Hvordan kan det være?

Lad os gennemgå det hele. For enkelhedens skyld forestiller vi os, at vores imaginære test kunne fungere sådan her. (I praksis kunne en test næppe have 100 % træfsikkerhed, men for enkelhedens skyld antager vi det.)

• Hvis du har sygdommen, siger testen i 100 % af tilfældene, at du er syg.
• Hvis du ikke har sygdommen, er testen rigtig i 99,95 % af tilfældene. Så selv om du ikke har sygdommen, siger testen i 0,05 % af tilfældene, at du har den.
• Hvis testen melder, at du ikke har sygdommen, er du helt sikkert ikke syg.
• Hvis testen melder, at du har sygdommen, kan det både være sandt og en fejl.

Det er dog ikke alt, hvad vi har brug for at vide. Vi skal også kende antallet af syge i den pågældende befolkning.

Mange syge

Lad os nu se på, hvordan testen falder ud i forskellige miljøer. I dette tilfælde falder den ud, som man kunne forvente. Forestil dig en befolkning A, hvor 200 personer ud af 10.000 virkelig har svineinfluenza, dvs. 2 % af personerne er smittede. Vi tester en million personer. Det betyder, at 20.000 personer har influenza, og resten har den ikke.

Da testen altid er rigtig, hvis personen har den pågældende sygdom, markerer den 20.000 personer som syge. Der er 980.000 personer tilbage, som ikke har sygdommen. Her har testen en træfsikkerhed på 99,95 %, dvs. den har en fejlrate på 0,05%, så den markerer 980.000 · 0,0005 = 490 personer som syge, selv om de ikke er syge.

I alt markerer testen således 20.490 personer som syge. Af dem er der dog kun 20.000 personer, der er syge. Sandsynligheden for, at du virkelig har sygdommen, er således 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, hvilket er cirka 97,6 %.

Få syge

Lad os se på befolkningen B, hvor kun 1 ud af 10.000 er syg, dvs. 0,01 % af indbyggerne har sygdommen. Vi udfører den samme test på en million personer.

Ud af en million personer er der kun 100 syge — dem markerer testen korrekt som syge. Der er 999.900 personer tilbage, som er raske. Af dem markerer testen 0,05 % som syge på grund af sin fejl. Testen markerer således 999.900 · 0,0005 ≈ 500 raske personer som syge. De øvrige er korrekt markeret som raske.

I alt markerer testen 100 + 500 = 600 personer som syge. Af disse personer er der dog kun hundrede, der virkelig er syge, så sandsynligheden for, at du virkelig har sygdommen, er kun 100/600 = 1/6, cirka 17 %. Selv om testen har markeret dig som syg, har du stadig en meget større chance for, at du ikke har sygdommen.

Én syg

Det foregående resultat, at hvis testen markerer dig som syg, har du i virkeligheden kun cirka 17% chance for, at du virkelig er syg, kan være overraskende for nogle. Endnu bedre ses det dog, hvis vi fører eksemplet ud i det yderste.

Forestil dig en befolkning på en million personer, hvoraf kun ét eneste menneske er sygt. Den test, vi tester med, har hos raske personer en træfsikkerhed på 90%. Hvad betyder det? At testen af 999.999 raske personer markerer 10 % som syge, det vil sige, at den markerer cirka hundrede tusind personer som syge. Men der er kun ét menneske, der virkelig er sygt. Selv hvis testen markerer dig, har du kun 1/100000 chance for, at du virkelig har sygdommen, dvs. cirka 0,001 %.