Medische paradox

Een patiënt ondergaat een test op een bepaalde ziekte en die test geeft een positieve uitslag, dus de test zegt dat de patiënt de ziekte heeft. In werkelijkheid kan de kans dat hij de ziekte echt heeft echter veel kleiner zijn dan de kans dat hij die niet heeft.

Het verhaal

Stel dat er in Utrecht een uitbraak van varkensgriep is. Een wiskundestudent gaat naar de huisarts, die hem een test laat doen om te zien of hij deze griep heeft of niet. Deze test heeft een betrouwbaarheid van 99,95%. Na een week hoort de student dat de test positief was. Even is hij daar verdrietig over, want de test heeft toch een betrouwbaarheid van 99,95%, dus de kans dat die zich vergist is maar 0,05%. Maar dan begint hij te rekenen en juicht. Hij ontdekt dat de kans dat hij echt varkensgriep heeft maar ongeveer 17% is. Hoe kan dat?

Laten we het helemaal doorlopen. Stel je voor de eenvoud voor dat onze denkbeeldige test zo zou kunnen werken. (In de praktijk zou een test moeilijk een betrouwbaarheid van 100% kunnen hebben, maar laten we dat voor de eenvoud aannemen.)

• Als je de ziekte hebt, zegt de test in 100% van de gevallen dat je ziek bent.
• Als je de ziekte niet hebt, is de test in 99,95% van de gevallen juist. Dus ook als je de ziekte niet hebt, zegt de test in 0,05% van de gevallen dat je de ziekte wel hebt.
• Als de test meldt dat je de ziekte niet hebt, ben je zeker niet ziek.
• Als de test meldt dat je de ziekte hebt, kan dat waar zijn, maar ook een fout.

Dat is echter nog niet alles wat we moeten weten. We moeten ook nog weten hoeveel zieken er in de betreffende populatie zijn.

Veel zieken

Laten we nu kijken hoe de test uitpakt in verschillende omgevingen. In dit geval pakt hij uit zoals te verwachten. Stel je populatie A voor, waarin 200 van de 10 000 mensen echt varkensgriep hebben, oftewel 2% van de mensen is besmet. We doen de test bij een miljoen mensen. Dat betekent dat 20 000 mensen de griep hebben en de rest niet.

Omdat de test altijd juist is als iemand de ziekte heeft, bestempelt hij 20 000 mensen als ziek. Er blijven 980 000 mensen over die de ziekte niet hebben. Hier heeft de test een betrouwbaarheid van 99,95%, oftewel een foutenpercentage van 0,05%, dus hij bestempelt 980 000 · 0,0005 = 490 mensen als ziek, hoewel ze niet ziek zijn.

In totaal bestempelt de test dus 20 490 mensen als ziek. Van dit aantal zijn er echter maar 20 000 echt ziek. De kans dat je de ziekte echt hebt, is dus 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, en dat is ongeveer 97,6%.

Weinig zieken

Laten we kijken naar populatie B, waarin maar 1 op de 10 000 ziek is, oftewel 0,01% van de inwoners de ziekte heeft. We doen dezelfde test bij een miljoen mensen.

Van het miljoen mensen zijn er maar 100 ziek — die mensen bestempelt de test terecht als ziek. Er blijven 999 900 mensen over die gezond zijn. Van deze mensen bestempelt de test door zijn fout 0,05% als ziek. De test bestempelt dus 999 900 · 0,0005 ≈ 500 gezonde mensen als ziek. De rest wordt terecht als gezond bestempeld.

In totaal bestempelt hij 100 + 500 = 600 mensen als ziek. Van deze mensen zijn er echter maar honderd echt ziek, dus de kans dat je de ziekte echt hebt, is maar 100/600 = 1/6, ongeveer 17%. Ook al bestempelde de test je als ziek, de kans dat je de ziekte niet hebt, is nog steeds veel groter.

Eén zieke

Het vorige resultaat, dat als de test je als ziek bestempelt, je in werkelijkheid maar ongeveer 17% kans hebt dat je echt ziek bent, kan voor sommigen verrassend zijn. Nog beter is het te zien als we het voorbeeld tot het uiterste doordrijven.

Stel je een populatie van een miljoen mensen voor, waarvan er maar één persoon ziek is. De test waarmee we testen, is bij gezonde mensen voor 90% juist. Wat betekent dat? Dat de test van 999 999 gezonde mensen 10% als ziek bestempelt, dus ongeveer honderdduizend mensen als ziek aanwijst. Toch is er maar één persoon echt ziek. Ook als de test jou aanwijst, heb je maar 1/100000 kans dat je de ziekte echt hebt, dus ongeveer 0,001%.