Paradosso del falso positivo

Un paziente si sottopone a un test per una certa malattia e il test dà risultato positivo, cioè il test risponde che il paziente ha la malattia. In realtà, però, la probabilità che ce l’abbia davvero può essere molto minore di quella che non ce l’abbia.

La storia

Un giorno a Milano compare l’influenza suina. Uno studente di matematica e fisica va dal medico, che lo sottopone a un test per stabilire se abbia o no questa influenza. Il test ha un’accuratezza del 99,95%. Dopo una settimana lo studente scopre che il test è risultato positivo. Per un po’ è giù di morale: il test ha pur sempre un’accuratezza del 99,95%, quindi la probabilità che si sia sbagliato è solo dello 0,05%. Ma poi si mette a fare i conti ed esulta. Scopre che la probabilità di avere davvero l’influenza suina è solo di circa il 17%. Com’è possibile?

Proviamo a ripercorrere tutto. Per semplicità immaginiamo che il nostro ipotetico test possa funzionare così. (Nella pratica sarebbe difficile che un test avesse un’accuratezza del 100%, ma per semplicità supponiamolo.)

• Se hai la malattia, il test ti dice nel 100% dei casi che sei malato.
• Se non hai la malattia, il test è corretto nel 99,95% dei casi. Quindi anche se non hai la malattia, nello 0,05% dei casi il test dice che ce l’hai.
• Se il test comunica che non hai la malattia, di sicuro non sei malato.
• Se il test comunica che hai la malattia, può essere vero oppure un errore.

Ma non è tutto quello che ci serve sapere. Dobbiamo anche conoscere quanti malati ci sono nella popolazione in questione.

Molti malati

Vediamo ora come va il test in ambienti diversi. In questo caso va come ci si aspetta. Immagina una popolazione A in cui 200 persone su 10.000 hanno davvero l’influenza suina, cioè il 2% delle persone è infetto. Eseguiamo il test su un milione di persone. Questo significa che 20.000 persone hanno l’influenza, le altre no.

Poiché il test non sbaglia mai se la persona ha la malattia in questione, segnala come malate 20.000 persone. Restano 980.000 persone che non hanno la malattia. Qui il test ha un’accuratezza del 99,95%, cioè sbaglia nello 0,05% dei casi, quindi segnala come malate 980.000 · 0,0005 = 490 persone, anche se malate non sono.

In totale il test segnala quindi come malate 20.490 persone. Di queste, però, sono malate solo 20.000 persone. La probabilità di avere davvero la malattia è quindi 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, che è circa il 97,6%.

Pochi malati

Vediamo la popolazione B, in cui è malato solo 1 su 10.000, cioè la malattia ce l’ha lo 0,01% degli abitanti. Eseguiamo lo stesso test su un milione di persone.

Su un milione di persone i malati sono solo 100 – queste persone il test le segnala correttamente come malate. Ci restano 999.900 persone sane. Di queste persone il test ne segnala come malate lo 0,05%, a causa del suo errore. Il test segnala quindi come malate 999.900 · 0,0005 ≈ 500 persone sane. Le altre sono segnalate correttamente come sane.

In totale segnala come malate 100 + 500 = 600 persone. Di queste persone, però, sono davvero malate solo cento, quindi la probabilità di avere davvero la malattia è solo 100/600 = 1/6, circa il 17%. Anche se il test ti ha segnalato come malato, hai comunque una probabilità molto più alta di non avere la malattia.

Un solo malato

Il risultato precedente, cioè che se il test ti segnala come malato in realtà hai solo circa il 17% di probabilità di essere davvero malato, può sorprendere qualcuno. Ancora meglio lo si vede, però, se portiamo l’esempio all’estremo.

Supponiamo una popolazione di un milione di persone, di cui una sola è malata. Il test che usiamo ha sulle persone sane un’accuratezza del 90%. Che cosa significa? Che il test su 999.999 persone sane ne segnala come malate il 10%, cioè segnala come malate circa centomila persone. Eppure è davvero malata una sola persona. Anche se il test ti segnala come malato, hai solo una probabilità di 1/100000 di avere davvero la malattia, cioè circa lo 0,001%.