Paradoxo do falso positivo

Um paciente faz um teste para uma doença e o teste dá resultado positivo, isto é, o teste responde que o paciente tem a doença. Na verdade, porém, a probabilidade de ele realmente ter a doença pode ser muito menor do que a de não tê-la.

A história

A gripe suína apareceu em São Paulo. Um estudante de matemática vai ao médico, que o submete a um teste para ver se ele tem ou não essa gripe. Esse teste tem uma taxa de acerto de 99,95%. Depois de uma semana, o estudante fica sabendo que o teste deu positivo. Por um momento fica triste, afinal o teste tem 99,95% de acerto, então a chance de ele ter errado é de apenas 0,05%. Mas então começa a calcular e comemora. Descobre que a probabilidade de ele realmente ter gripe suína é de apenas cerca de 17%. Como isso é possível?

Vamos percorrer tudo. Para simplificar, imagine que o nosso teste imaginário poderia funcionar assim. (Na prática, dificilmente um teste poderia ter 100% de acerto, mas, para simplificar, vamos supor isso.)

• Se você tem a doença, o teste diz em 100% dos casos que você está doente.
• Se você não tem a doença, o teste acerta em 99,95% dos casos. Ou seja, mesmo que você não tenha a doença, em 0,05% dos casos o teste diz que você a tem.
• Se o teste informa que você não tem a doença, você com certeza não está doente.
• Se o teste informa que você tem a doença, isso pode ser verdade ou erro.

Mas isso não é tudo o que precisamos saber. Precisamos ainda saber quantos doentes há na população em questão.

Muitos doentes

Agora vamos ver como o teste se sai em ambientes diferentes. Nesse caso, o resultado é o esperado. Imagine uma população A em que 200 pessoas de 10.000 realmente têm gripe suína, ou seja, 2% das pessoas estão infectadas. Fazemos o teste em um milhão de pessoas. Isso significa que 20.000 pessoas têm gripe, as outras não.

Como o teste sempre acerta quando a pessoa tem a doença, ele marca 20.000 pessoas como doentes. Sobram 980.000 pessoas que não têm a doença. Aqui o teste tem taxa de acerto de 99,95%, ou seja, tem 0,05% de erro, então marca 980.000 · 0,0005 = 490 pessoas como doentes, embora elas não estejam doentes.

No total, o teste marca 20.490 pessoas como doentes. Desse número, porém, só 20.000 pessoas estão realmente doentes. A probabilidade de você realmente ter a doença é, portanto, 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, o que é aproximadamente 97,6%.

Poucos doentes

Vamos olhar para a população B, em que está doente apenas 1 de 10.000, ou seja, 0,01% dos habitantes têm a doença. Fazemos o mesmo teste em um milhão de pessoas.

De um milhão de pessoas, estão doentes apenas 100 pessoas — o teste marca essas pessoas corretamente como doentes. Sobram 999.900 pessoas que são saudáveis. Dessas pessoas, o teste marca 0,05% como doentes, por causa do seu erro. O teste marca, assim, 999.900 · 0,0005 ≈ 500 pessoas saudáveis como doentes. As outras são marcadas corretamente como saudáveis.

No total, o teste marca 100 + 500 = 600 pessoas como doentes. Dessas pessoas, porém, estão realmente doentes apenas cem, então a probabilidade de você realmente ter a doença é de apenas 100/600 = 1/6, aproximadamente 17%. Mesmo que o teste tenha marcado você como doente, você ainda tem uma chance muito maior de não ter a doença.

Um doente

O resultado anterior, de que, se o teste marca você como doente, na verdade você tem apenas cerca de 17% de chance de estar realmente doente, pode ser surpreendente para alguns. Mas isso fica ainda mais claro se levarmos o exemplo ao extremo.

Suponha uma população de um milhão de pessoas, das quais apenas uma única está doente. O teste com que testamos tem, nas pessoas saudáveis, 90% de acerto. O que isso significa? Que, de 999.999 pessoas saudáveis, o teste marca 10% como doentes, isto é, marca aproximadamente cem mil pessoas como doentes. Mas, entre elas, está realmente doente apenas uma pessoa. Mesmo que o teste marque você, você tem apenas 1/100000 de chance de realmente ter a doença, isto é, aproximadamente 0,001%.