Kravat Paradoksu

Ali ile Mehmet tatilde Antalya’da çay içerek sohbet ediyorlar. Bir ara kimin kravatının daha pahalı olduğuna dair iddiaya girmeye karar veriyorlar.

Soru

Bildiğimiz gibi Ali ile Mehmet, kimin kravatının daha pahalı olduğuna dair iddiaya giriyor. Bu kravatları yılbaşı hediyesi olarak eşlerinden almışlar ve ikisi de kravatın kaç TL olduğunu bilmiyor. İddianın tam şartı şöyle: eşlerine fiyatı soracaklar ve kravatı daha ucuz çıkan, diğerinin kravatını kazanacak. Yani Ali’nin kravatı Mehmet’inkinden daha ucuzsa Ali, Mehmet’in kravatını alır. Tersi de geçerlidir. İlk soru şu: İçlerinden biri avantajlı mı? İddiaya girmek birine kâr getirir mi, yoksa ikisinin şansı tamamen eşit mi?

Sahte Çözüm

Belki de getirir. Kravatların fiyatlarının farklı olduğunu varsayalım. Bu, çözümü değiştirmez; çünkü fiyatlar eşit olsaydı kimse kimsenin kravatını almazdı. Benimle birlikte hesapla: Ali’nin kravatı X TL değerinde. Mehmet’in kravatı hakkında hiçbir şey bilmiyor, elinde başka bir ipucu da yok. Bu yüzden Mehmet’in kravatının daha ucuz olma olasılığı %50, daha pahalı olma olasılığı da %50’dir. Yani Ali’nin kravatı daha pahalıysa X TL kaybeder. Ama kravatı daha ucuzsa X TL’den fazlasını kazanır. İkisi de %50 olasılıkla: %50 şansla X TL kaybeder ve %50 şansla X TL’den fazlasını kazanır.

Olasılıklar eşitken, kaybedebileceğinden daha fazla para (daha pahalı bir kravat) kazanabilir. Bu da kârlıdır! Görünüşe göre Ali için her şey çok güzel gidiyor ve iddiaya girmesi daha iyi. Kaybedebileceğinden daha fazlasını kazanabilir.

Ama hepinizin tahmin edebileceği gibi, aynı düşünceyi Mehmet de yürütebilir. Mehmet de Y TL değerindeki kravatını kaybetme ihtimalinin %50, Y TL’den daha pahalı bir kravat kazanma ihtimalinin de %50 olduğunu düşünür.

Aynı iddiada iki tarafın birden avantajlı olması açıkça mümkün değil; bir şeyler yanlış olmalı.

Çözüm

Önce kimin ne kazanabileceğini yazalım. Kravatların fiyatları için rastgele somut değerler yerine koyalım. Basit olsun diye yalnızca iki kravat olduğunu ve fiyatlarının 3000 TL ile 4000 TL olduğunu varsayalım. O zaman Ali’nin açısından şu durumlar ortaya çıkabilir:

• Ali’nin kravatı 3000 TL, Mehmet’inki 4000 TL → Ali 4000 TL kazandı.
• Ali’nin kravatı 4000 TL, Mehmet’inki 3000 TL → Ali 4000 TL kaybetti.

(Kravatların fiyatlarının eşit olması ihtimalini dışarıda bıraktık, ama bırakmak şart da değildi — o durumda ikisi de kazanmazdı.)

Görüldüğü gibi her zaman aynı paranın üzerine oynanıyor: Ali ya 4000 TL kazanır ya da 4000 TL kaybeder. Bu tabii ki belirli fiyatlardan bağımsızdır; yerine 250 TL ile 350 TL yazarsan, her zaman 350 TL’nin üzerine oynanır. Yani ek bir bilgisi yoksa kimsenin iddiaya girmesi (ya da girmemesi) kârlı değildir.

Toplam üç farklı kravat olsaydı, diyelim 2000 TL, 3000 TL ve 4000 TL, biraz daha fazla ihtimal ortaya çıkardı. Önce Ali’nin kazançları, sonra Ali’nin kayıpları:

• Ali’nin kravatı 2000 TL, Mehmet’inki 3000 TL → Ali 3000 TL kazandı.
• Ali’nin kravatı 2000 TL, Mehmet’inki 4000 TL → Ali 4000 TL kazandı.
• Ali’nin kravatı 3000 TL, Mehmet’inki 4000 TL → Ali 4000 TL kazandı.
• Ali’nin kravatı 3000 TL, Mehmet’inki 2000 TL → Ali 3000 TL kaybetti.
• Ali’nin kravatı 4000 TL, Mehmet’inki 2000 TL → Ali 4000 TL kaybetti.
• Ali’nin kravatı 4000 TL, Mehmet’inki 3000 TL → Ali 4000 TL kaybetti.

Tüm ihtimaller eşit olasılıklıdır. Görüldüğü gibi Ali, kaybedebileceği parayı tam olarak kazanabilir de. Daha fazla kravat için de benzer tablolar elde ederdik; her zaman kaybedebileceği para, kazanabileceği parayla aynı olurdu. Tüm ihtimaller eşit olasılıklı olduğundan, katılımcılardan hiçbiri dezavantajlı değildir.

Ali’nin yaptığı asıl hata, kendi kravatının fiyatını sabit almasıydı. Bunu yapamaz; çünkü iki kravatlı örnekte gördüğümüz gibi, kaybettiği durumda kravatının fiyatı, kazandığı durumdaki fiyattan farklıydı. Üç kravatlı örnekte de benzer şekilde — Ali kazandığında kravatının fiyatı {2000, 3000} kümesinden, kaybettiğinde ise {3000, 4000} kümesindendi. Oysa Ali hep sabit bir tutarla hesap yapıyordu.