Paradoxul rezultatelor fals pozitive

Un pacient face un test pentru o boală, iar testul dă un rezultat pozitiv, adică testul spune că pacientul are boala. În realitate însă, probabilitatea ca pacientul să aibă într-adevăr boala poate fi mult mai mică decât probabilitatea să nu o aibă.

Povestea

S-a întâmplat că în București a apărut gripa porcină. Un student la matematică merge la medic, care îl supune unui test pentru a afla dacă are sau nu această gripă. Testul are o reușită de 99,95%. După o săptămână, studentul află că testul a ieșit pozitiv. Este trist o vreme, căci testul are o reușită de 99,95%, deci șansa ca testul să se fi înșelat este de doar 0,05%. Dar apoi începe să calculeze și se bucură. Descoperă că probabilitatea să aibă într-adevăr gripă porcină este de doar aproximativ 17%. Cum este posibil?

Să parcurgem totul cu atenție. Pentru simplitate, să ne imaginăm că testul nostru imaginar ar putea funcționa așa. (În practică, de pildă, greu ar avea vreun test o reușită de 100%, dar, de dragul simplității, să presupunem asta.)

• Dacă ai boala, testul îți spune în 100% din cazuri că ești bolnav.
• Dacă nu ai boala, testul reușește în 99,95% din cazuri. Deci, chiar dacă nu ai boala, în 0,05% din cazuri testul spune că o ai.
• Dacă testul anunță că nu ai boala, sigur nu ești bolnav.
• Dacă testul anunță că ai boala, poate fi adevărat sau o greșeală.

Asta nu este însă tot ce trebuie să știm. Mai trebuie să știm câți bolnavi sunt în populația respectivă.

Mulți bolnavi

Să vedem acum cum iese testul în medii diferite. În acest caz, rezultatul este cel așteptat. Imaginează-ți populația A, în care 200 de oameni din 10.000 au într-adevăr gripă porcină, adică 2% dintre oameni sunt infectați. Facem testul pe un milion de oameni. Asta înseamnă că 20.000 de oameni au gripă, ceilalți nu.

Deoarece testul reușește întotdeauna când omul are boala, marchează 20.000 de oameni ca bolnavi. Rămân 980.000 de oameni care nu au boala. Aici testul are o reușită de 99,95%, adică un eșec de 0,05%, deci marchează 980.000 · 0,0005 = 490 de oameni ca bolnavi, deși nu sunt bolnavi.

În total, testul marchează astfel 20.490 de oameni ca bolnavi. Din acest număr, bolnavi sunt însă doar 20.000 de oameni. Probabilitatea să ai într-adevăr boala este deci 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, adică aproximativ 97,6%.

Puțini bolnavi

Să ne uităm la populația B, în care este bolnav doar 1 din 10.000, adică boala o au 0,01% dintre locuitori. Facem același test pe un milion de oameni.

Dintr-un milion de oameni, bolnavi sunt doar 100 de oameni – pe aceștia testul îi marchează corect ca bolnavi. Ne rămân 999.900 de oameni sănătoși. Dintre ei, testul marchează 0,05% drept bolnavi, din cauza erorii sale. Testul marchează astfel 999.900 · 0,0005 ≈ 500 de oameni sănătoși ca bolnavi. Ceilalți sunt marcați corect ca sănătoși.

În total, testul marchează 100 + 500 = 600 de oameni ca bolnavi. Dintre aceștia, bolnavi sunt însă cu adevărat doar o sută, deci probabilitatea să ai într-adevăr boala este de doar 100/600 = 1/6, aproximativ 17%. Chiar dacă testul te-a marcat ca bolnav, ai în continuare o șansă mult mai mare să nu ai boala.

Un singur bolnav

Rezultatul precedent, că, dacă testul te marchează ca bolnav, în realitate ai doar o șansă de aproximativ 17% să fii într-adevăr bolnav, poate fi surprinzător pentru unii. Se vede și mai bine dacă ducem exemplul la extrem.

Să presupunem o populație de un milion de oameni, dintre care este bolnav doar un singur om. Testul cu care ne testăm are la oamenii sănătoși o reușită de 90%. Ce înseamnă asta? Că dintre cei 999.999 de oameni sănătoși testul marchează 10% ca bolnavi, adică marchează aproximativ o sută de mii de oameni ca bolnavi. Totuși, bolnav este cu adevărat doar un singur om. Chiar dacă testul te marchează, ai doar o șansă de 1/100000 să ai într-adevăr boala, adică aproximativ 0,001%.