Το ιατρικό παράδοξο

Ένας ασθενής κάνει ένα τεστ για κάποια ασθένεια και το τεστ βγαίνει θετικό, δηλαδή το τεστ απαντά ότι ο ασθενής έχει την ασθένεια. Στην πραγματικότητα όμως η πιθανότητα να έχει πράγματι την ασθένεια μπορεί να είναι πολύ μικρότερη από την πιθανότητα να μην την έχει.

Η ιστορία

Συνέβη να εμφανιστεί στην Αθήνα η γρίπη των χοίρων. Ένας φοιτητής Μαθηματικών πηγαίνει στον γιατρό, ο οποίος τον υποβάλλει σε τεστ για το αν έχει ή δεν έχει αυτή τη γρίπη. Το τεστ αυτό έχει ποσοστό επιτυχίας 99,95%. Μετά από μία εβδομάδα ο φοιτητής μαθαίνει ότι το τεστ βγήκε θετικό. Για λίγο στεναχωριέται, το τεστ έχει όμως 99,95% επιτυχία, άρα η πιθανότητα να έκανε λάθος είναι μόνο 0,05%. Μετά όμως αρχίζει να υπολογίζει και πανηγυρίζει. Βρίσκει ότι η πιθανότητα να έχει πράγματι γρίπη των χοίρων είναι μόνο περίπου 17%. Πώς είναι αυτό δυνατό;

Ας τα δούμε όλα από την αρχή. Για απλότητα, ας φανταστούμε ότι το φανταστικό μας τεστ θα μπορούσε να λειτουργεί ως εξής. (Στην πράξη δύσκολα θα μπορούσε ένα τεστ να έχει 100% επιτυχία, αλλά για απλότητα ας το υποθέσουμε.)

• Αν έχεις την ασθένεια, το τεστ σου λέει στο 100% των περιπτώσεων ότι είσαι άρρωστος.
• Αν δεν έχεις την ασθένεια, το τεστ είναι επιτυχές στο 99,95% των περιπτώσεων. Δηλαδή ακόμα κι αν δεν έχεις την ασθένεια, στο 0,05% των περιπτώσεων το τεστ λέει ότι την έχεις.
• Αν το τεστ ανακοινώσει ότι δεν έχεις την ασθένεια, σίγουρα δεν είσαι άρρωστος.
• Αν το τεστ ανακοινώσει ότι έχεις την ασθένεια, μπορεί να είναι αλήθεια ή λάθος.

Αυτό όμως δεν είναι όλα όσα χρειάζεται να ξέρουμε. Πρέπει να ξέρουμε και πόσοι άρρωστοι υπάρχουν στον συγκεκριμένο πληθυσμό.

Πολλοί άρρωστοι

Ας δούμε τώρα πώς βγαίνει το τεστ σε διάφορα περιβάλλοντα. Σε αυτή την περίπτωση βγαίνει όπως αναμένεται. Φαντάσου έναν πληθυσμό A, όπου 200 άνθρωποι στους 10.000 έχουν πράγματι γρίπη των χοίρων, δηλαδή το 2% των ανθρώπων είναι μολυσμένοι. Κάνουμε το τεστ σε ένα εκατομμύριο ανθρώπους. Αυτό σημαίνει ότι 20.000 άνθρωποι έχουν γρίπη, οι υπόλοιποι όχι.

Επειδή το τεστ είναι πάντα επιτυχές όταν ο άνθρωπος έχει τη συγκεκριμένη ασθένεια, χαρακτηρίζει 20.000 ανθρώπους ως αρρώστους. Μένουν 980.000 άνθρωποι που δεν έχουν την ασθένεια. Εδώ το τεστ έχει επιτυχία 99,95%, δηλαδή αποτυχία 0,05%, άρα χαρακτηρίζει 980.000 · 0,0005 = 490 ανθρώπους ως αρρώστους, αν και δεν είναι άρρωστοι.

Συνολικά λοιπόν το τεστ χαρακτηρίζει 20.490 ανθρώπους ως αρρώστους. Από αυτούς όμως άρρωστοι είναι μόνο 20.000 άνθρωποι. Η πιθανότητα να έχεις πράγματι την ασθένεια είναι λοιπόν 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, που είναι περίπου 97,6%.

Λίγοι άρρωστοι

Ας δούμε τον πληθυσμό B, όπου άρρωστος είναι μόνο 1 στους 10.000, δηλαδή την ασθένεια έχει το 0,01% των κατοίκων. Κάνουμε το ίδιο τεστ σε ένα εκατομμύριο ανθρώπους.

Από το ένα εκατομμύριο ανθρώπους άρρωστοι είναι μόνο 100 άνθρωποι – αυτούς το τεστ τους χαρακτηρίζει σωστά ως αρρώστους. Μας μένουν 999.900 άνθρωποι που είναι υγιείς. Από αυτούς το τεστ χαρακτηρίζει ως αρρώστους το 0,05%, εξαιτίας του λάθους του. Το τεστ χαρακτηρίζει έτσι 999.900 · 0,0005 ≈ 500 υγιείς ανθρώπους ως αρρώστους. Οι υπόλοιποι χαρακτηρίζονται σωστά ως υγιείς.

Συνολικά χαρακτηρίζει 100 + 500 = 600 ανθρώπους ως αρρώστους. Από αυτούς όμως πράγματι άρρωστοι είναι μόνο εκατό, άρα η πιθανότητα να έχεις πράγματι την ασθένεια είναι μόνο 100/600 = 1/6, περίπου 17%. Ακόμα κι αν το τεστ σε χαρακτήρισε ως άρρωστο, έχεις και πάλι πολύ μεγαλύτερη πιθανότητα να μην έχεις την ασθένεια.

Ένας άρρωστος

Το προηγούμενο αποτέλεσμα, ότι αν το τεστ σε χαρακτηρίσει ως άρρωστο, στην πραγματικότητα έχεις μόνο περίπου 17% πιθανότητα να είσαι πράγματι άρρωστος, μπορεί να εκπλήσσει κάποιους. Ακόμα καλύτερα φαίνεται όμως αν φτάσουμε το παράδειγμα στα άκρα.

Ας υποθέσουμε έναν πληθυσμό ενός εκατομμυρίου ανθρώπων, από τους οποίους μόνο ένας είναι άρρωστος. Το τεστ με το οποίο ελεγχόμαστε έχει στους υγιείς ανθρώπους 90% επιτυχία. Τι σημαίνει αυτό; Ότι από τους 999.999 υγιείς ανθρώπους το τεστ χαρακτηρίζει το 10% ως αρρώστους, δηλαδή χαρακτηρίζει περίπου εκατό χιλιάδες ανθρώπους ως αρρώστους. Ταυτόχρονα όμως πράγματι άρρωστος είναι μόνο ένας άνθρωπος. Ακόμα κι αν το τεστ σε χαρακτηρίσει άρρωστο, έχεις μόνο 1/100000 πιθανότητα να έχεις πράγματι την ασθένεια, δηλαδή περίπου 0,001%.