Medicinska paradoxen

En patient gör ett test för någon sjukdom och testet visar ett positivt resultat, det vill säga testet svarar att patienten har sjukdomen. I själva verket kan sannolikheten att patienten faktiskt har sjukdomen ändå vara mycket mindre än sannolikheten att patienten inte har den.

Berättelsen

En gång bröt svininfluensan ut i Stockholm. En matematikstudent går till en läkare, som testar om studenten har influensan eller inte. Testet har en träffsäkerhet på 99,95 %. Efter en vecka får studenten veta att testet blev positivt. En stund är studenten ledsen, testet har ju träffsäkerheten 99,95 %, så risken att det har fel är bara 0,05 %. Sedan börjar studenten räkna och jublar. Det visar sig att sannolikheten att studenten verkligen har svininfluensa bara är ungefär 17 %. Hur är det möjligt?

Låt oss gå igenom hela resonemanget. För enkelhetens skull tänker vi oss att vårt påhittade test fungerar så här. (I verkligheten har knappast något test 100 % träffsäkerhet, men för enkelhetens skull antar vi det.)

• Om du har sjukdomen säger testet i 100 % av fallen att du är sjuk.
• Om du inte har sjukdomen är testet träffsäkert i 99,95 % av fallen. Alltså säger testet i 0,05 % av fallen att du har sjukdomen, trots att du inte har den.
• Om testet säger att du inte har sjukdomen är du helt säkert inte sjuk.
• Om testet säger att du har sjukdomen kan det vara sant eller ett fel.

Det här är dock inte allt vi behöver veta. Vi måste också veta hur många sjuka det finns i den aktuella populationen.

Många sjuka

Nu ska vi se hur testet fungerar i olika miljöer. I det här fallet blir utfallet väntat. Tänk dig en population A där 200 av 10 000 människor verkligen har svininfluensa, alltså är 2 % av människorna smittade. Vi testar en miljon människor. Det betyder att 20 000 människor har influensan och resten inte.

Eftersom testet alltid är träffsäkert när personen har sjukdomen markerar det 20 000 människor som sjuka. Kvar blir 980 000 människor som inte har sjukdomen. Här har testet träffsäkerheten 99,95 %, alltså felprocenten 0,05 %, så det markerar 980 000 · 0,0005 = 490 människor som sjuka fastän de inte är det.

Sammanlagt markerar testet alltså 20 490 människor som sjuka. Av dem är bara 20 000 människor faktiskt sjuka. Sannolikheten att du verkligen har sjukdomen är därför 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, vilket är ungefär 97,6 %.

Få sjuka

Låt oss titta på en population B där bara 1 av 10 000 är sjuk, alltså har 0,01 % av invånarna sjukdomen. Vi gör samma test på en miljon människor.

Av en miljon människor är bara 100 sjuka, och dem markerar testet rätt som sjuka. Kvar blir 999 900 människor som är friska. Av dem markerar testet 0,05 % som sjuka på grund av sitt fel. Testet markerar alltså 999 900 · 0,0005 ≈ 500 friska människor som sjuka. De övriga markeras rätt som friska.

Sammanlagt markerar testet 100 + 500 = 600 människor som sjuka. Av dem är bara hundra verkligen sjuka, så sannolikheten att du verkligen har sjukdomen är bara 100/600 = 1/6, ungefär 17 %. Även om testet markerade dig som sjuk är chansen fortfarande mycket större att du inte har sjukdomen.

En sjuk

Resultatet ovan, att du bara har ungefär 17 % chans att verkligen vara sjuk om testet markerar dig som sjuk, kan vara överraskande. Ännu tydligare blir det om vi driver exemplet till det extrema.

Tänk dig en population på en miljon människor där bara en enda människa är sjuk. Testet vi använder har 90 % träffsäkerhet för friska människor. Vad betyder det? Att testet av 999 999 friska människor markerar 10 % som sjuka, det vill säga ungefär hundra tusen människor som sjuka. Samtidigt är bara en enda människa verkligen sjuk. Även om testet markerar dig har du bara chansen 1/100000 att verkligen ha sjukdomen, det vill säga ungefär 0,001 %.