Paradoxe médical

Un patient passe un test pour une maladie et le test renvoie un résultat positif, c’est-à-dire qu’il indique que le patient est malade. En réalité, la probabilité qu’il ait vraiment la maladie peut être bien plus petite que la probabilité qu’il ne l’ait pas.

Histoire

Une grippe porcine a été signalée à Paris. Léo, étudiant en mathématiques, va voir son médecin, qui le soumet à un test pour savoir s’il a cette grippe ou non. Ce test a un taux de réussite de 99,95 %. Une semaine plus tard, Léo apprend que le test est positif. D’abord, il est triste : le test a un taux de réussite de 99,95 %, donc la chance qu’il se soit trompé n’est que de 0,05 %. Mais il se met à calculer et se réjouit : la probabilité qu’il ait réellement la grippe n’est que d’environ 17 %. Comment est-ce possible ?

Passons tout cela en revue. Pour simplifier, imaginons que notre test fictif fonctionne ainsi. (En pratique, il serait difficile pour un test d’avoir un taux de réussite de 100 %, mais, pour simplifier, supposons-le.)

• Si tu es malade, le test te le dit dans 100 % des cas.
• Si tu n’es pas malade, le test réussit dans 99,95 % des cas. Autrement dit, même si tu n’es pas malade, il t’annonce à tort que tu l’es dans 0,05 % des cas.
• Si le test indique que tu n’es pas malade, tu ne l’es certainement pas.
• Si le test indique que tu es malade, cela peut être vrai ou faux.

Mais ce n’est pas tout ce que nous devons savoir. Il faut aussi connaître le nombre de malades dans la population considérée.

Beaucoup de malades

Voyons maintenant ce qui se passe dans différents contextes. Dans ce cas-ci, le résultat est prévisible. Imaginons une population A dans laquelle 200 personnes sur 10 000 ont réellement la grippe, soit 2 % de la population infectée. Nous faisons passer le test à un million de personnes. Cela signifie que 20 000 personnes ont la grippe et que les autres ne l’ont pas.

Comme le test réussit toujours lorsque la personne a la maladie, il déclare 20 000 personnes malades. Il reste 980 000 personnes qui n’ont pas la maladie. Pour elles, le test a un taux de réussite de 99,95 %, soit un taux d’échec de 0,05 % : il déclare donc 980 000 · 0,0005 = 490 personnes malades alors qu’elles ne le sont pas.

Au total, le test déclare 20 490 personnes malades. Or parmi elles, seules 20 000 le sont réellement. La probabilité que tu sois réellement malade est donc 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, soit environ 97,6 %.

Peu de malades

Voyons maintenant la population B, dans laquelle seulement 1 personne sur 10 000 est malade, soit 0,01 % des habitants. Nous faisons passer le même test à un million de personnes.

Sur un million de personnes, seules 100 sont malades : le test les déclare correctement malades. Il reste 999 900 personnes saines. Parmi elles, le test déclare malades 0,05 % à cause de son erreur. Il déclare donc 999 900 · 0,0005 ≈ 500 personnes saines comme malades. Les autres sont correctement déclarées saines.

Au total, le test déclare 100 + 500 = 600 personnes malades. Or parmi elles, seules cent sont réellement malades. La probabilité que tu sois réellement malade n’est donc que 100/600 = 1/6, soit environ 17 %. Même si le test t’a déclaré malade, tu as encore une bien plus grande chance de ne pas l’être.

Un seul malade

Le résultat précédent, selon lequel si le test te déclare malade, tu n’as qu’environ 17 % de chances de l’être réellement, peut surprendre. C’est encore plus visible si l’on pousse l’exemple à l’extrême.

Supposons une population d’un million de personnes, dont une seule est malade. Le test utilisé a un taux de réussite de 90 % chez les personnes saines. Cela signifie qu’il déclare malades 10 % des 999 999 personnes saines, c’est-à-dire environ cent mille personnes. Pourtant, une seule personne est réellement malade. Même si le test te déclare malade, tu n’as qu’une chance de 1/100000, soit environ 0,001 %, d’être réellement malade.