Lääketieteellinen paradoksi

Potilas käy läpi testin johonkin tautiin, testi antaa positiivisen tuloksen eli testi vastaa, että potilaalla on tauti. Todellisuudessa todennäköisyys, että hänellä todella on tauti, voi kuitenkin olla paljon pienempi kuin todennäköisyys, ettei hänellä ole sitä.

Tarina

Kävi niin, että Helsingissä alkoi levitä sikainfluenssa. Matematiikan opiskelija menee lääkärille, joka tekee hänelle testin siitä, onko hänellä tämä influenssa vai ei. Tämän testin osuvuus on 99,95 %. Viikon kuluttua opiskelija saa tietää, että testi oli positiivinen. Hetken hän on siitä murheellinen, onhan testin osuvuus 99,95%, joten mahdollisuus, että se erehtyi, on vain 0,05 %. Mutta sitten hän alkaa laskea ja riemuitsee. Hän huomaa, että todennäköisyys, että hänellä todella on sikainfluenssa, on vain noin 17 %. Miten se on mahdollista?

Käydään se läpi kokonaan. Yksinkertaisuuden vuoksi kuvitellaan, että kuvitteellinen testimme voisi toimia näin. (Käytännössä millään testillä tuskin voisi olla 100 %:n osuvuutta, mutta yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan se.)

• Jos sinulla on tauti, testi kertoo 100 %:ssa tapauksista, että olet sairas.
• Jos sinulla ei ole tautia, testi onnistuu 99,95 %:ssa tapauksista. Eli vaikka sinulla ei ole tautia, testi kertoo 0,05 %:ssa tapauksista, että tauti on.
• Jos testi ilmoittaa, ettei sinulla ole tautia, et varmasti ole sairas.
• Jos testi ilmoittaa, että sinulla on tauti, se voi olla totta tai virhe.

Se ei kuitenkaan ole kaikki, mitä tarvitsemme tietää. Meidän on vielä tiedettävä, kuinka monta sairasta kyseisessä väestössä on.

Paljon sairaita

Katsotaan nyt, miten testi toimii eri ympäristöissä. Tässä tapauksessa tulos on odotettu. Kuvittele väestö A, jossa 200 ihmisellä 10 000:sta todella on sikainfluenssa, eli 2 % ihmisistä on tartunnan saaneita. Teemme testin miljoonalle ihmiselle. Se tarkoittaa, että 20 000 ihmisellä on influenssa, muilla ei.

Koska testi onnistuu aina, jos ihmisellä kyseinen tauti on, se merkitsee 20 000 ihmistä sairaiksi. Jäljelle jää 980 000 ihmistä, joilla tautia ei ole. Näillä testin osuvuus on 99,95 % eli sen virhetodennäköisyys on 0,05%, joten se merkitsee 980 000 · 0,0005 = 490 ihmistä sairaiksi, vaikka he eivät ole sairaita.

Kokonaissummassa testi merkitsee siis 20 490 ihmistä sairaiksi. Tästä määrästä on kuitenkin sairaita vain 20 000 ihmistä. Todennäköisyys, että sinulla todella on tauti, on siis 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, mikä on noin 97,6 %.

Vähän sairaita

Katsotaan väestöä B, jossa sairas on vain 1 ihminen 10 000:sta eli tauti on 0,01 %:lla asukkaista. Teemme saman testin miljoonalle ihmiselle.

Miljoonasta ihmisestä sairaita on vain 100 ihmistä – nämä ihmiset testi merkitsee oikein sairaiksi. Jäljelle jää 999 900 ihmistä, jotka ovat terveitä. Näistä ihmisistä testi merkitsee virheensä vuoksi 0,05 % sairaiksi. Testi merkitsee siis 999 900 · 0,0005 ≈ 500 tervettä ihmistä sairaiksi. Muut merkitään oikein terveiksi.

Kokonaissummassa se merkitsee 100 + 500 = 600 ihmistä sairaiksi. Näistä ihmisistä todella sairaita on kuitenkin vain sata, joten todennäköisyys, että sinulla todella on tauti, on vain 100/600 = 1/6, noin 17 %. Vaikka testi merkitsi sinut sairaaksi, sinulla on silti paljon suurempi mahdollisuus, ettei sinulla ole tautia.

Yksi sairas

Edellinen tulos, että jos testi merkitsee sinut sairaaksi, sinulla on todellisuudessa vain noin 17% mahdollisuus olla oikeasti sairas, voi olla joillekin yllättävä. Vielä paremmin se kuitenkin näkyy, kun viemme esimerkin äärimmäisyyteen.

Oletetaan miljoonan ihmisen väestö, josta vain yksi ainoa ihminen on sairas. Testillä, jolla testaamme, on terveillä ihmisillä 90% osuvuus. Mitä se tarkoittaa? Että testi merkitsee 999 999:stä terveestä ihmisestä 10 % sairaiksi, eli se merkitsee noin sata tuhatta ihmistä sairaiksi. Silti todella sairas on vain yksi ihminen. Vaikka testi merkitsisi sinut, sinulla on vain 1/100000 mahdollisuus, että sinulla todella on tauti, eli noin 0,001 %.