Paradoja del falso positivo

Un paciente se hace un test de una enfermedad y el test da un resultado positivo, es decir, el test responde que el paciente tiene la enfermedad. En realidad, sin embargo, la probabilidad de que la tenga puede ser mucho menor que la de que no la tenga.

La historia

Resulta que en Madrid apareció la gripe porcina. Un estudiante de matemáticas va al médico, que le hace un test para saber si tiene o no esa gripe. Este test tiene un porcentaje de aciertos del 99,95 %. Al cabo de una semana el estudiante se entera de que el test ha dado positivo. Se pone triste un rato: el test tiene un porcentaje de aciertos del 99,95%, así que la probabilidad de que se haya equivocado es solo del 0,05 %. Pero entonces se pone a calcular y se alegra. Descubre que la probabilidad de que realmente tenga la gripe porcina es solo de aproximadamente 17 %. ¿Cómo es posible?

Repasémoslo todo. Para simplificar, supongamos que nuestro test imaginario funcionara así. (En la práctica sería difícil que un test tuviera un 100 % de aciertos, pero en aras de la sencillez lo suponemos.)

• Si tienes la enfermedad, el test te dice en el 100 % de los casos que estás enfermo.
• Si no tienes la enfermedad, el test acierta en el 99,95 % de los casos. Es decir, aunque no tengas la enfermedad, en el 0,05 % de los casos el test dice que la tienes.
• Si el test comunica que no tienes la enfermedad, seguro que no estás enfermo.
• Si el test comunica que tienes la enfermedad, puede ser verdad o un error.

Pero esto no es todo lo que necesitamos saber. Tenemos que conocer además cuántos enfermos hay en la población en cuestión.

Muchos enfermos

Veamos ahora cómo sale el test en distintos entornos. En este caso el resultado es el esperable. Imagina una población A en la que 200 personas de cada 10.000 tienen realmente la gripe porcina, es decir, el 2 % de las personas está infectado. Hacemos el test a un millón de personas. Esto significa que 20.000 personas tienen la gripe y las demás no.

Como el test siempre acierta si la persona tiene la enfermedad, señalará como enfermas a 20.000 personas. Quedan 980.000 personas que no tienen la enfermedad. En ellas el test tiene un porcentaje de aciertos del 99,95 %, es decir, un porcentaje de fallos del 0,05%, así que señalará como enfermas a 980.000 · 0,0005 = 490 personas, aunque no estén enfermas.

En total, el test señala, pues, como enfermas a 20.490 personas. De ese total, sin embargo, solo están enfermas 20.000 personas. La probabilidad de que realmente tengas la enfermedad es, por tanto, 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, es decir, aproximadamente 97,6 %.

Pocos enfermos

Veamos la población B, en la que está enfermo solo 1 de cada 10.000, es decir, tiene la enfermedad el 0,01 % de los habitantes. Hacemos el mismo test a un millón de personas.

De un millón de personas están enfermas solo 100 personas; a ellas el test las señala correctamente como enfermas. Nos quedan 999.900 personas que están sanas. De estas personas el test señala como enfermas al 0,05 %, por su error. El test señala, pues, como enfermas a 999.900 · 0,0005 ≈ 500 personas sanas. Las demás quedan correctamente señaladas como sanas.

En total señala como enfermas a 100 + 500 = 600 personas. De ellas, sin embargo, solo cien están realmente enfermas, así que la probabilidad de que realmente tengas la enfermedad es solo 100/600 = 1/6, aproximadamente 17 %. Aunque el test te haya señalado como enfermo, sigues teniendo una probabilidad mucho mayor de no tener la enfermedad.

Un enfermo

El resultado anterior, que si el test te señala como enfermo en realidad tienes solo una probabilidad de aproximadamente 17% de estar realmente enfermo, puede resultar sorprendente para algunos. Pero se ve todavía mejor si llevamos el ejemplo al extremo.

Supongamos una población de un millón de personas, de las cuales solo una única persona está enferma. El test con el que nos hacemos las pruebas tiene en las personas sanas un porcentaje de aciertos del 90%. ¿Qué significa esto? Que de 999.999 personas sanas el test señala como enfermas al 10 %, es decir, señala como enfermas a aproximadamente cien mil personas. Sin embargo, realmente está enferma solo una persona. Aunque el test te señale, tienes solo una probabilidad de 1/100000 de tener realmente la enfermedad, es decir, aproximadamente 0,001 %.