Det medisinske paradokset

En pasient tar en test for en sykdom, og testen gir et positivt resultat, altså testen svarer at pasienten har sykdommen. I virkeligheten kan likevel sannsynligheten for at pasienten faktisk har sykdommen, være mye mindre enn sannsynligheten for at han ikke har den.

Historien

Det hendte at svineinfluensa dukket opp i Oslo. En matematikkstudent går til legen, som tester ham for om han har denne influensaen eller ikke. Testen har en treffsikkerhet på 99,95 %. Etter en uke får studenten vite at testen var positiv. Et øyeblikk er han lei seg, testen har jo 99,95% treffsikkerhet, så sjansen for at den tok feil, er bare 0,05 %. Men så begynner han å regne og jubler. Han finner ut at sannsynligheten for at han virkelig har svineinfluensa, bare er omtrent 17 %. Hvordan er det mulig?

La oss gå gjennom hele saken. For enkelhets skyld tenker vi oss at vår tenkte test kunne fungere slik. (I praksis kan neppe noen test ha 100 % treffsikkerhet, men for enkelhets skyld antar vi det.)

• Hvis du har sykdommen, sier testen i 100 % av tilfellene at du er syk.
• Hvis du ikke har sykdommen, treffer testen riktig i 99,95 % av tilfellene. Selv om du ikke har sykdommen, sier altså testen i 0,05 % av tilfellene at du har den.
• Hvis testen melder at du ikke har sykdommen, er du helt sikkert ikke syk.
• Hvis testen melder at du har sykdommen, kan det være sant, men det kan også være en feil.

Men det er ikke alt vi trenger å vite. Vi må også vite hvor mange syke det finnes i den aktuelle befolkningen.

Mange syke

La oss nå se på hvordan testen slår ut i ulike befolkninger. I dette tilfellet går det som ventet. Tenk deg en befolkning A der 200 av 10 000 mennesker virkelig har svineinfluensa, altså er 2 % av menneskene smittet. Vi tester en million mennesker. Det betyr at 20 000 mennesker har influensaen, de andre har den ikke.

Siden testen alltid treffer når personen har sykdommen, merker den 20 000 mennesker som syke. Da gjenstår 980 000 mennesker som ikke har sykdommen. Her har testen en treffsikkerhet på 99,95 %, eller med andre ord 0,05% feilprosent, så den merker 980 000 · 0,0005 = 490 mennesker som syke, selv om de ikke er syke.

Til sammen merker testen altså 20 490 mennesker som syke. Av dette antallet er det bare 20 000 mennesker som er syke. Sannsynligheten for at du virkelig har sykdommen, er dermed 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, som er omtrent 97,6 %.

Få syke

La oss se på en befolkning B der bare 1 av 10 000 er syk, eller 0,01 % av innbyggerne har sykdommen. Vi utfører den samme testen på en million mennesker.

Av en million mennesker er det bare 100 som er syke — disse merker testen riktig som syke. Da gjenstår 999 900 mennesker som er friske. Av disse merker testen 0,05 % som syke, på grunn av feilen sin. Testen merker altså 999 900 · 0,0005 ≈ 500 friske mennesker som syke. De andre blir riktig merket som friske.

Til sammen merker testen 100 + 500 = 600 mennesker som syke. Av disse er det imidlertid bare hundre som virkelig er syke, så sannsynligheten for at du virkelig har sykdommen, er bare 100/600 = 1/6, omtrent 17 %. Selv om testen merket deg som syk, har du fortsatt mye større sjanse for at du ikke har sykdommen.

Én syk

Det forrige resultatet, at hvis testen merker deg som syk, har du i virkeligheten bare omtrent 17% sjanse for at du virkelig er syk, kan være overraskende for noen. Enda bedre ser vi det hvis vi driver eksemplet til det ekstreme.

La oss anta en befolkning på en million mennesker, der bare én eneste er syk. Testen vi tester med, har en treffsikkerhet på 90% for friske mennesker. Hva betyr det? At testen av 999 999 friske mennesker merker 10 % som syke, det vil si at den merker omtrent hundre tusen mennesker som syke. Samtidig er det bare ett menneske som virkelig er syk. Selv om testen merker deg, har du bare 1/100000 sjanse for at du virkelig har sykdommen, altså omtrent 0,001 %.