Tập hợp

Có thể hiểu tập hợp là một nhóm các phần tử. Mỗi tập hợp có một số phần tử nhất định, số đó có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Tập hợp cũng có thể không có phần tử nào, khi đó ta gọi nó là tập rỗng. Tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ in hoa, chẳng hạn M, còn phần tử của tập hợp bằng chữ thường m.

Tập hợp là gì

Tập hợp là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, dùng để định nghĩa rất nhiều khái niệm khác. Vì vậy nên hiểu rõ tập hợp là gì ngay từ đầu để sau này học không bị lúng túng.

Tập hợp là một nhóm gồm những phần tử bất kì. Trong toán học, ta thường làm việc với tập hợp số, tức là tập hợp mà các phần tử là các số. Cách viết thông thường của một tập hợp trong toán học như sau:

$$M=\{1;2;3\}$$

Ta vừa mô tả tập hợp tên là “M” gồm 3 phần tử là 1, 2 và 3. Tập hợp luôn được viết trong dấu ngoặc nhọn; hầu như mỗi khi thấy dấu ngoặc nhọn, ta đang gặp một tập hợp nào đó.

Tập hợp dùng để làm gì? Tập hợp thường cho biết ta được chọn những phần tử nào. Chẳng hạn trong đời sống, bạn có thể nói: “Lan ơi, mình chơi một trò nhé? Cậu nghĩ một số từ 1 đến 5 đi.” Như vậy bạn đã giới hạn cho Lan một phạm vi các số để chọn. Trong toán học, để làm việc đó ta dùng tập hợp:

$$L=\{1;2;3;4;5\}$$

Rồi bạn có thể nói với Lan: “Lan ơi, mình chơi một trò nhé? Cậu nghĩ một số thuộc tập hợp L đi.” Chắc chắn trò chơi sẽ thú vị hơn hẳn. Trong toán học, để viết một phần tử thuộc một tập hợp, ta dùng kí hiệu ∈, còn khi không thuộc thì dùng ∉. Muốn nói rằng 1 thuộc tập hợp L nhưng 7 thì không, ta viết: 1 ∈ L và 7 ∉ L.

Tất nhiên tập hợp có thể rỗng; để viết tập rỗng ta dùng P = {} hoặc đơn giản hơn P = ∅. Lưu ý rằng cả hai cách viết đều có nghĩa là “tập rỗng”; nếu viết P = {∅} thì đó là một tập hợp chứa tập rỗng. Tập này không giống tập rỗng.

Thứ tự và phần tử lặp lại

Các phần tử của tập hợp không được sắp xếp theo thứ tự nào. Tập hợp là một nhóm các phần tử không có thứ tự. Nếu có hai tập hợp A = {1; 2; 3} và B = {3; 2; 1} thì ta nói chúng bằng nhau. Thứ tự các phần tử trong tập hợp không quan trọng.

Ta cũng không quan tâm đến các phần tử lặp lại. Nếu tập hợp chứa nhiều phần tử giống nhau (nhiều số bằng nhau), ta chỉ tính mỗi phần tử một lần. Chẳng hạn hai tập hợp A = {1; 1; 2; 2; 2} và B = {2; 1} được coi là bằng nhau. Tập hợp A có vẻ chứa “nhiều” phần tử hơn vì có các phần tử viết hai, ba lần, nhưng điều đó không quan trọng. Khi tính toán với tập hợp, các phần tử lặp lại đơn giản là bị bỏ đi.

Số phần tử và hai tập hợp bằng nhau

Ta có thể định nghĩa số phần tử của một tập hợp. Với ví dụ trên, A = {1; 1; 2; 2; 2} và B = {2; 1}, tập hợp A có 2 phần tử và tập hợp B cũng có 2 phần tử, vì khi đếm phần tử ta cũng không tính các phần tử lặp lại. Số phần tử của tập hợp được viết giữa hai vạch thẳng đứng: |A| = |B| = 2.

Như bạn có thể đã đoán, hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có cùng các phần tử. Một vài ví dụ:

$$\begin{array}{rcl}\{1;2;3\}& =& \{1;2;3\}\\ \{1;2;3\}& =& \{1;2;3;2;3;1\}\\ \{a;h;o;j\}& =& \{o;o;h;j;a;o\}\\ \{1;3;5;9\}& \ne & \{1;3;9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Một tính chất quan trọng là phần tử của tập hợp cũng có thể là một tập hợp. Ví dụ: C = {1; 2; {3; 4; 5; 6}}. Cần nhận ra rằng tập hợp C có 3 phần tử chứ không phải 6. Tập hợp C gồm 3 phần tử: 1, 2 và một tập hợp. Các phần tử 3, 4, 5 và 6 thuộc tập hợp bên trong, không thuộc tập hợp C. Vậy |C| = 3. Một ví dụ phức tạp hơn:

$$D=\{0;\{1;\{2;3\}\};\left\{4\right\}\}$$

Tập hợp D có bao nhiêu phần tử? Nó có 3 phần tử, đó là:

$$D_1=0,D_2=\{1;\{2;3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Tập hợp có thể hữu hạn hoặc vô hạn. Các tập hợp nêu đến giờ đều hữu hạn. Tập hợp tất cả các số là một ví dụ về tập hợp vô hạn.

Tập con

Cho hai tập hợp A = {1; 2} và B = {1; 2; 3}. Hai tập hợp này khác nhau vì không có cùng các phần tử, tập hợp B lớn hơn. Tuy vậy, chắc bạn đã nhận thấy rằng tập hợp B chứa đúng các phần tử của tập hợp A, chỉ có thêm phần tử 3. Khi đó ta nói A là tập con của B.

Nếu A là tập con của B thì mọi phần tử của tập hợp A đều phải thuộc tập hợp B. Tập con là một quan hệ giữa hai tập hợp, kí hiệu ⊆. Định nghĩa hình thức:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Thông thường ta cho phép hai tập hợp A và B bằng nhau, khi đó vẫn có A ⊆ B. Muốn diễn đạt tập con theo nghĩa chặt, ta dùng kí hiệu khác: ⊂. Khi đó, nếu A ⊂ B thì tập hợp B phải lớn hơn (nếu nó hữu hạn), tức là phải chứa một phần tử không thuộc tập hợp A. Tập hợp như vậy gọi là “tập con thực sự”. Vậy nếu A ⊂ B thì A là tập con thực sự của B. (Lưu ý: SGK Toán 10 dùng chính kí hiệu này cho tập con nói chung, kể cả khi hai tập hợp bằng nhau, tức là theo nghĩa của kí hiệu trước.) Định nghĩa tập con thực sự:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Định nghĩa giống như với tập con thông thường, chỉ thêm điều kiện hai tập hợp không được bằng nhau. Một vài ví dụ:

$$\begin{array}{rcl}\{a;h;o\}& \subseteq & \{a;h;o;j\}\\ \{a;h;o\}& \subset & \{a;h;o;j\}\\ \{2;4;6\}& \subseteq & \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{2;4;6\}& \subset & \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{1;2;3\}& ⊈& \{1;3\}\\ \{1;2;3\}& \not\subset & \{1;3\}\\ \{0;1\}& \subseteq & \{0;1\}\\ \{0;1\}& \not\subset & \{0;1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr \}& \subseteq & \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr ;\star ;\bullet ;\mp \}\\ \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr \}& \subset & \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr ;\star ;\bullet ;\mp \}\end{array}$$

Tính chất của tập con:

• A ⊆ A: mọi tập hợp đều là tập con của chính nó.
• A ⊄ A: không tập hợp nào là tập con thực sự của chính nó.
• ∅ ⊆ A: tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
• A ⊄ ∅: tập rỗng không có tập con thực sự nào.

Dùng tập con, ta có thể viết điều kiện hai tập hợp bằng nhau:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Nếu hai tập hợp bằng nhau thì tập này là tập con của tập kia.

Quan hệ tập con còn được gọi là “quan hệ bao hàm”.

Tập luỹ thừa

Tập luỹ thừa là tập hợp gồm tất cả các tập con của một tập hợp cho trước. Tập luỹ thừa thường được kí hiệu là P(M) hoặc 2^M.

Ví dụ: M = {1; 2; 3}. Tất cả các tập con của nó là gì? Chắc chắn có tập rỗng và chính tập hợp M. Ngoài ra còn có: {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}. Tất cả các tập hợp này tạo thành tập luỹ thừa của tập hợp M. Ta viết: P(M) = {∅; M; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}}.

Vì tập rỗng là tập con của mọi tập hợp và M luôn là tập con của M nên ta luôn có ∅ ∈ P(M) và M ∈ P(M).

Cách viết một tập hợp

Một cách đã được nhắc đến ở trên: liệt kê các phần tử. Ta dùng dấu ngoặc nhọn: M = {1; 2; 3} hoặc N = {a; b; c; d}, v.v. Khi viết một tập hợp vô hạn, ta có thể dùng dấu ba chấm nếu đã rõ các phần tử tiếp tục ra sao: M = {1; 2; 3; …}

Cách chủ yếu để viết một tập hợp là chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Cách viết tổng quát như sau: {x ∈ X | P(x)}, trong đó X là tập hợp mà ta lấy phần tử từ đó, còn P(x) là một công thức xác định các phần tử của tập hợp. Công thức có thể viết hoàn toàn bằng kí hiệu toán học hoặc bằng lời. Thay cho “|” đôi khi người ta dùng dấu chấm phẩy “;”.

Chẳng hạn “tập hợp M gồm tất cả các số chỉ một ngày trong tháng”. Một tháng có nhiều nhất 31 ngày, nên tập hợp này có 31 phần tử, từ 1 đến 31. Ta có thể viết nó bằng dấu ba chấm: M = {1; 2; 3; …; 30; 31}. Một cách viết khác của cùng tập hợp này là: {x ∈ ℤ | x là một ngày trong tháng}, trong đó ℤ là tập hợp các số nguyên.

Một ví dụ mang tính toán học hơn: “tập hợp P gồm tất cả các số dương chia hết cho 5”. Khi đó tập hợp này là: P = {5; 10; 15; 20; 25;…}

Ta thử viết bằng kí hiệu toán học tập hợp T gồm các số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 10: T = {x ∈ ℕ^* | x<10}. Cách viết này cho biết: tập hợp T gồm các phần tử x lấy từ tập hợp các số tự nhiên khác 0 và thoả mãn điều kiện nhỏ hơn 10. Ta xét các số tự nhiên khác 0 và chỉ giữ lại những số nhỏ hơn 10: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Thế là xong.

Ví dụ khác: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Ta vừa định nghĩa tập hợp Y gồm các phần tử x lấy từ tập số nguyên, và điều kiện duy nhất mà x phải thoả mãn là khác 0. Như vậy tập hợp Y gồm tất cả các số nguyên trừ số 0.

Ví dụ khác: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Tập hợp G gồm các phần tử x lấy từ tập số thực, và với mọi phần tử x phải có: khi nhân nó với chính nó, ta lại được x. Chẳng hạn thử số 5. Theo định nghĩa phải có đẳng thức 5 · 5 = 5. Rõ ràng đẳng thức này sai, nên số 5 không thuộc tập hợp G. Thử số 1: 1 · 1 = 1. Đẳng thức này hiển nhiên đúng, nên số 1 thuộc tập hợp G. Phần tử thứ hai, cũng là phần tử cuối cùng, là số 0. Không còn số nào khác thoả mãn. Vậy ta viết được: G = {0; 1}.

Và ví dụ cuối cùng. Dưới đây là một tập hợp phức tạp hơn, để bạn thấy tính chất đặc trưng cũng có thể phức tạp:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

Trong thực hành, tập hợp thường được xác định bằng tính chất đặc trưng, và có thể nói rằng khá nhiều khái niệm trong toán học được định nghĩa thông qua tập hợp. Chẳng hạn với khoảng, ta có thể nói rằng khoảng (a; b) là tập hợp I thoả mãn:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Đó là tất cả các phần tử của tập số thực lớn hơn a và nhỏ hơn b, đúng như ý nghĩa của khoảng.

Tài liệu tham khảo

• Wikipedia