Có bao nhiêu mã PIN khác nhau?

Hãy tưởng tượng bạn có một khoá số xe đạp, trên đó có thể đặt một mã gồm 4 chữ số. Hoặc bạn muốn đặt một mã 4 chữ số tương tự cho thẻ ngân hàng. Có bao nhiêu khả năng? Ta cùng tính thử.

Số mã gồm 4 chữ số

Nếu mã chỉ gồm 1 chữ số từ 0 đến 9 thì có bao nhiêu khả năng? Có tất cả 10 khả năng: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Nếu thêm một chữ số nữa, tức là mã gồm 2 chữ số, thì có bao nhiêu khả năng? Hãy hình dung ở vòng số thứ nhất ta đặt chữ số 0, còn ở vòng số thứ hai ta lần lượt thử tất cả các chữ số từ 0 đến 9:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09

Ta được 10 mã. Bây giờ ở vòng số thứ nhất đổi chữ số 0 thành 1 rồi làm tương tự:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Ta có thêm 10 mã nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi đã thử tất cả các chữ số ở vòng số thứ nhất và dừng lại ở chữ số 9:

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Tổng cộng ta được 10 dãy như thế, mỗi dãy có 10 mã. Cộng tất cả các mã trong mọi dãy lại, với khoá 2 chữ số ta được 10 · 10 mã, tức là 100 mã.

Cứ tiếp tục như vậy. Thêm vòng số thứ ba vào khoá, số mã lại tăng lên gấp 10 lần. Mã 3 chữ số sẽ có 10 · 10 · 10, tức là 1.000 mã. Và cuối cùng, mã 4 chữ số có tất cả

$$10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$$

mã. Suốt từ đầu ta chỉ dùng quy tắc nhân. Như vậy với khoá có 4 vòng số, mỗi vòng có 10 chữ số khác nhau, số mã có thể tính bằng luỹ thừa:

$${10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$$

Nếu có 3 vòng, mỗi vòng có thể chọn một chữ cái của bảng chữ cái tiếng Anh, tức là các chữ cái từ A đến Z, gồm 26 chữ cái, thì ta được tất cả

$${26}^3=17576$$

khả năng.

Làm thế nào để thử tất cả các mã PIN?

Nếu có lúc bạn cần thử tất cả các mã của một khoá số hay mã PIN thì điều quan trọng nhất là làm có hệ thống. Với khoá 4 vòng số có các chữ số từ 0 đến 9, hãy bắt đầu từ 0000 rồi lần lượt tăng chữ số cuối cùng:

0000, 0001, 0002, …, 0009

Sau đó xoay vòng số thứ hai tính từ bên phải và lại thử tất cả các khả năng bằng cách xoay vòng số cuối cùng:

0010, 0011, 0012, …, 0019

Rồi lại xoay vòng số thứ hai tính từ bên phải và lại thử tất cả các mã:

0020, 0021, 0022, …, 0029

Khi đến 0099, hãy xoay vòng số thứ ba tính từ bên phải và tiếp tục:

0100, 0101, 0102, …, 0199

Mã cuối cùng cần thử là 9999. Khi đó bạn có thể chắc chắn rằng đã thử hết tất cả các mã.