Công thức khai triển nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton tổng quát hoá các hằng đẳng thức quen thuộc kiểu (a + b)² nhờ các phương pháp tổ hợp.

Đặt vấn đề

Chắc hẳn bạn đã biết các công thức tính (a + b)² hay (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Một câu hỏi tự nhiên là có thể tổng quát hoá các công thức này cho số nguyên dương n bất kì không, tức là có tính được (a + b)ⁿ không?

Xây dựng công thức

Tất nhiên là được, và công thức nhị thức Newton dùng chính cho việc đó. Ta xem khai triển tiếp tục thế nào với n = 4 và n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Đến đây bạn hẳn đã thấy một quy luật. Với biểu thức (a + b)ⁿ, ở vế phải ta luôn bắt đầu bằng số hạng aⁿ. Số hạng thứ hai cũng chứa biến a, nhưng số mũ nhỏ hơn 1 đơn vị. Chẳng hạn trong khai triển (a + b)⁴, ở vế phải số hạng thứ nhất là a⁴, số hạng thứ hai là a³. Mỗi số hạng tiếp theo chứa biến a với số mũ nhỏ hơn 1 so với số hạng trước. Ngược lại, số mũ của biến b tăng dần. Lúc đầu không có biến b, hay đúng hơn là có, nhưng với số mũ 0: b⁰ = 1. Ở số hạng thứ hai b có số mũ 1, rồi 2, v.v.

Đồng thời có một quy tắc đơn giản: tổng các số mũ luôn bằng n. Xét khai triển cuối cùng (a + b)⁵, chẳng hạn số hạng thứ ba là 10a³ · b², và tổng các số mũ của biến a và b đúng bằng 5.

Điều cuối cùng là hệ số (các số đứng trước biến) của mỗi số hạng. Chắc chắn bạn nhận thấy các hệ số đối xứng: với (a + b)⁴ ta có các hệ số 1, 4, 6, 4, 1, với (a + b)⁵ ta có: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Xin nhắc lại rằng a⁴ = 1 · a⁴, vì vậy tôi ghi số 1 ở đây, dù không viết ra trong công thức. Một quan hệ khác ta sẽ thấy qua tam giác Pascal.

Tam giác Pascal

Tam giác Pascal là công cụ tiện lợi để khai triển theo công thức nhị thức Newton. Tam giác Pascal gồm các số, trong đó mỗi số nằm dưới hai số khác thì bằng tổng của hai số đó. Nghe có vẻ rắc rối, nhưng nhìn tam giác sẽ thấy rõ:

Chẳng hạn hãy xem số 4. Phía trên số này là các số 1 và 3. Và tổng 1 + 3 đúng bằng 4. Tương tự với các số khác.

Vậy ta dùng tam giác Pascal thế nào? Nhìn các số trên từng hàng, bạn sẽ thấy chúng rất giống các hệ số trong khai triển nhị thức. Chẳng hạn với (a + b)² ta có các hệ số 1, 2, 1, đúng là hàng thứ hai. Với (a + b)⁴ ta có các hệ số 1, 4, 6, 4, 1, đúng là hàng thứ tư. Nếu cần tính (a + b)ⁿ, chỉ cần nhìn vào hàng thứ n của tam giác Pascal.

Phát biểu công thức nhị thức Newton

Về mặt hình thức, công thức nhị thức Newton phát biểu như sau:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Tổng được tính từ 0 đến n, kể cả số cuối. Như vậy số các số hạng là n + 1. Hệ số đứng sau dấu tổng là số tổ hợp, một khái niệm của đại số tổ hợp, cho biết số tổ hợp khác nhau tạo ra số hạng tương ứng của khai triển nhị thức. Phần còn lại chỉ là các biến với số mũ tương ứng. Lưu ý rằng tổng các số mũ quả thật bằng n: n − k + k = n.

Ví dụ

Một ví dụ đơn giản: dùng công thức nhị thức Newton, khai triển (a + 2b)⁴. Trước hết ta xem hàng thứ tư của tam giác Pascal. Hàng này cho biết các hệ số là: 1, 4, 6, 4, 1. Bây giờ chỉ còn lần lượt điền số mũ. Số hạng thứ nhất chỉ là a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Ở số hạng thứ hai, các số mũ là cặp 3, 1, nên ta được a³(2b)¹. Luỹ thừa bậc 1 không làm thay đổi biểu thức, nên có thể viết a³2b. Hệ số của số hạng thứ hai là 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Số hạng thứ ba có các số mũ 2, 2. Ở đây cần chú ý: ta nâng lên luỹ thừa cả 2b, như sau: (2b)², và kết quả là: (2b)² = 4b². Viết vào khai triển với hệ số 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Số hạng thứ tư có dạng a(2b)³. Tính luỹ thừa, ta được a8b³. Viết vào với hệ số 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Số hạng cuối cùng chỉ còn là (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Bây giờ chỉ cần biến đổi một chút. Trong số hạng 4a³2b có thể đưa số 2 lên đầu và nhân 2 · 4 = 8. Ta được 8a³b. Làm như vậy với các số hạng còn lại, ta được kết quả:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Lưu ý rằng lúc này các hệ số không còn trùng với các số trong tam giác Pascal nữa.