Luỹ thừa và căn thức

Phép nâng lên luỹ thừa là một hàm số toán học; nói đơn giản, phép toán này dùng để viết gọn phép nhân lặp lại nhiều lần.

Số mũ nguyên dương

Luỹ thừa có dạng aⁿ, trong đó n gọi là số mũ, còn a gọi là cơ số. Sau đây ta quan tâm chủ yếu đến dạng của số mũ. Ở phần này, ta xem luỹ thừa với số mũ nguyên dương có những tính chất gì, tức là khi số mũ là một trong các số 1, 2, 3, 4, …

Ví dụ về luỹ thừa như vậy là 6². Số 6 là cơ số, số 2 là số mũ. Số mũ cho biết tích gồm bao nhiêu thừa số 6. Vậy 6² = 6 · 6 = 36. Ví dụ khác: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Tổng quát, có thể viết:

$$a^n=\underset{n\text{ thừa số}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$$

Cơ số có thể là bất cứ thứ gì: một số, hay một biểu thức phức tạp hơn. Khi tính, ta chỉ việc lập tích của các thừa số bằng biểu thức đó, số thừa số bằng số mũ. Ví dụ:

$$\begin{array}{rcl}(-5{)}^3& =& (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\\ x^4& =& x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3{)}^2& =& (x+3)\cdot (x+3)\end{array}$$

Với số mũ bằng 0, ta quy ước a⁰ = 1.

Số mũ âm

Ở phần này, ta giả sử số mũ là số âm. Có thể hiểu điều này thế nào? Xuất phát từ a⁰ = 1. Muốn tính a¹, ta có thể nói là nhân a⁰ với a. Vì a⁰ = 1 nên tích bằng a⁰ · a = a. Ta được a. Muốn tính a², có thể viết a² = a⁰ · a · a.

Có thể coi giá trị a⁰ = 1 là giá trị xuất phát, và khi tính aⁿ, ta chỉ việc nhân giá trị a⁰ với a đúng n lần. Nếu n âm thì làm thế nào? Nếu n dương thì ta nhân. Nếu n âm thì ta chia. Như vậy, a⁻¹ nhận được bằng cách lấy giá trị ban đầu a⁰ chia cho a. Ta có đẳng thức:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac{1}{a}$$

Muốn biết a⁻², ta chia a⁰ cho a hai lần. Kết quả là gì? Trước hết, xem phép chia còn có thể viết cách khác thế nào. Thương x/y cũng có thể viết là

$$x\cdot \frac{1}{y}$$

Đây là một trong những tính chất cơ bản của phân số. Vì vậy, nếu muốn chia biểu thức x cho biểu thức y hai lần, ta có thể viết

$$x\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{y}$$

Trở lại ví dụ a⁻². Ta đã nói rằng nó nhận được bằng cách chia biểu thức a⁰ cho a hai lần. Biến đổi tiếp như sau:

$$a^{-2}=a^0\cdot \frac{1}{a}\cdot \frac{1}{a}=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Đến đây ta đã có cách tính luỹ thừa với số mũ âm. Tính luỹ thừa như thể số mũ là số dương, rồi lấy nghịch đảo, tức lấy 1 chia cho kết quả đó. Viết chính xác hơn:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Ở đây giả sử −n là số âm, tức n là số dương.)

Một vài ví dụ:

$$\begin{array}{rcl}{2}^{-1}& =& \frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}\\ 5^{-3}& =& \frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3{)}^{-8}& =& \frac{1}{(2x+3{)}^8}\end{array}$$

Số mũ hữu tỉ

Có thể mở rộng số mũ cho mọi số hữu tỉ. Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng phân số, tức thương của hai số nguyên. Cho phân số dạng m/n, trong đó n là số dương. Khi đó có công thức

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Dấu móc phía trên a^m là kí hiệu căn thức.

Máy tính luỹ thừa

Nếu cần tính một luỹ thừa, có thể dùng máy tính luỹ thừa 🧮.

Tính chất của luỹ thừa

• a⁰ = 1, nếu a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, nếu n > 0.
• 0⁰ là biểu thức không xác định.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, nếu a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.