Xác suất

Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên cho biết khả năng biến cố đó xảy ra là bao nhiêu. Ví dụ điển hình là gieo một con xúc xắc thông thường. Ta có thể hỏi: “Xác suất để xuất hiện mặt 5 chấm là bao nhiêu?” Xác suất được cho bằng một số thuộc đoạn [0; 1] hoặc bằng phần trăm, tức là từ 0% đến 100%.

Các định nghĩa liên quan

Mỗi hoạt động có thể lặp lại và phụ thuộc vào sự ngẫu nhiên gọi là một phép thử ngẫu nhiên. Chẳng hạn gieo xúc xắc hay quay xổ số là những phép thử ngẫu nhiên. Tiếp theo ta cần tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử ngẫu nhiên, tức là tất cả các khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Chẳng hạn khi gieo xúc xắc có thể xuất hiện các mặt từ 1 đến 6 chấm, nên tập hợp tất cả các kết quả có thể, gọi là không gian mẫu và kí hiệu là ω (đọc là ômêga; sách giáo khoa kí hiệu bằng chữ hoa Ω), với con xúc xắc có dạng: ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Với xổ số, đó là tất cả các bộ số có thể được quay ra.

Mỗi tập con A ⊆ ω gọi là một biến cố (ngẫu nhiên). Chẳng hạn biến cố “xuất hiện mặt có số chấm chẵn” được viết là A = {2; 4; 6}. Biến cố “xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 5” được viết là A = {6}, v.v. Nếu gieo xúc xắc (= thực hiện phép thử) và xuất hiện mặt x chấm, thì khi x ∈ A ta nói biến cố đã xảy ra, trong trường hợp ngược lại ta nói biến cố không xảy ra. Vẫn xét biến cố “xuất hiện mặt có số chấm chẵn”: nếu xuất hiện x = 2 thì x ∈ A, tức là 2 ∈ {2; 4; 6}, và biến cố đã xảy ra.

Có hai loại biến cố đặc biệt: biến cố chắc chắn và biến cố không thể. Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra trong mọi phép thử, nghĩa là A = ω. Với con xúc xắc, đó là biến cố “xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7”. Biến cố này chắc chắn xảy ra. Ngược lại là biến cố không thể, có dạng A = ∅, phát biểu bằng lời chẳng hạn như “xúc xắc xuất hiện mặt có hình chậu hoa”. Đúng là trong lúc gieo xúc xắc, chậu hoa có thể rơi từ trên bàn xuống, nhưng chắc chắn mặt xúc xắc không thể có hình chậu hoa, vì trên đó chỉ có các mặt từ 1 đến 6 chấm.

Xác suất của biến cố

Xác suất của một biến cố cho biết ta có thể kì vọng biến cố đó xảy ra đến mức nào. Hẳn ai cũng đoán được rằng mặt có số chấm chẵn xuất hiện thường xuyên hơn so với đúng mặt 5 chấm. Xác suất chuyển dự đoán đó thành những con số cụ thể. Trước hết ta nêu một số giả thiết cần dùng.

Giả sử phép thử ngẫu nhiên thoả mãn:

• Số kết quả có thể là hữu hạn (tức là ω là tập hợp hữu hạn).
• Không thể xảy ra đồng thời hai kết quả (tức là không thể gieo xúc xắc được đồng thời mặt 3 chấm và mặt 6 chấm).
• Các kết quả đồng khả năng (tức là khả năng gieo được mặt 4 chấm bằng khả năng gieo được mặt 6 chấm hay mặt 1 chấm).

Hai điều kiện đầu khá tự nhiên, điều kiện cuối có phần hạn chế, nhưng tạm thời như vậy là đủ. Khi đó xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), bằng

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Nói cách khác: số kết quả thuận lợi chia cho số tất cả các kết quả. (Hai vạch đứng trong công thức trên chỉ số phần tử của tập hợp.) Như vậy xác suất gieo được mặt có số chấm chẵn bằng:

$$P(\text{Chẵn})=\frac{|\{2;4;6\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Xác suất thường được cho dưới dạng phần trăm: chỉ cần lấy xác suất đã tính, nhân với 100 rồi thêm dấu phần trăm: 0,5 · 100% = 50%. Xác suất 50% thực ra cho biết khả năng xuất hiện mặt có số chấm chẵn bằng khả năng không xuất hiện mặt đó. Điều này hợp lí, vì trên con xúc xắc có 3 mặt chẵn và 3 mặt lẻ.

Biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1, biến cố không thể có xác suất bằng 0. Vì sao? Ta đã nói rằng với biến cố chắc chắn J thì J = ω, còn với biến cố không thể N thì N = ∅. Thay các biến cố này vào công thức, ta được:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Ví dụ có lời giải

1. Tính xác suất để khi gieo xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm. Điều này đơn giản: tập hợp tất cả các kết quả thuận lợi chỉ là A = {5}, còn tập hợp tất cả các kết quả vẫn là ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Thay vào công thức:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Tính xác suất để khi gieo xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3. Ta phải tìm xem những số nào trên xúc xắc chia hết cho 3. Đó chỉ là các số 3 và 6, nên tập hợp các kết quả thuận lợi là B = {3; 6}. Sau đó tính như thường lệ:

   $$P(B)=\frac{|\{3;6\}|}{|\{1;2;3;4;5;6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Bây giờ ta thử gieo đồng thời 2 con xúc xắc. Tính xác suất để cả hai con xúc xắc đều xuất hiện mặt 6 chấm. Trước hết ta phải xác định ω, tức là tập hợp tất cả các kết quả. Ta phải đếm tất cả các khả năng có thể xảy ra. Khi con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 1 chấm thì con thứ hai có thể xuất hiện mặt từ 1 đến 6 chấm. Như vậy ta tìm được 6 khả năng. Khi con thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm thì con thứ hai lại có thể xuất hiện mặt từ 1 đến 6 chấm; ta tìm được thêm 6 khả năng nữa. Cứ như thế với mọi mặt có thể xuất hiện ở con xúc xắc thứ nhất. Tất cả các khả năng có dạng như sau:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\\ & & \dots \\ & & (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)\end{array}$$

   Có tất cả 6 hàng, mỗi hàng có 6 khả năng. Tổng cộng có 6 · 6 = 36 khả năng có thể xuất hiện trên hai con xúc xắc. Bao nhiêu khả năng trong số đó thuộc tập hợp các kết quả thuận lợi? Chỉ 1 khả năng, cụ thể là (6; 6), vì ta muốn xuất hiện 2 mặt 6 chấm. Ta được xác suất:

   $$P(C)=\frac{|\{(6;6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Gieo 2 con xúc xắc. Tính xác suất để hai con xúc xắc xuất hiện cùng số chấm. Số tất cả các kết quả có thể vẫn là 36, xem ví dụ trước. Nhưng có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Chỉ trong 6 trường hợp hai con xúc xắc xuất hiện cùng số chấm: D = {(1; 1), (2; 2), …, (6; 6)}. Thay vào công thức:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Gieo 2 con xúc xắc, một con trắng và một con đen. Tính xác suất để con trắng xuất hiện mặt 3 chấm và con đen xuất hiện mặt 5 chấm. Số phần tử của ω vẫn là 36. Tập hợp các kết quả thuận lợi E có dạng thế nào? Tập hợp này chỉ gồm đúng khả năng (3; 5), nên xác suất bằng

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Gieo 2 con xúc xắc, một con trắng và một con đen. Tính xác suất để xuất hiện các mặt 3 chấm và 5 chấm. Ví dụ này giống ví dụ trước, chỉ khác là ta không đòi hỏi mặt 3 chấm phải ở con trắng và mặt 5 chấm ở con đen. Chỉ cần một con xuất hiện mặt 3 chấm và con còn lại xuất hiện mặt 5 chấm. Do đó có nhiều khả năng hơn: ngoài (3; 5) còn có khả năng (5; 3). Xác suất của biến cố F này bằng:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Gieo 2 con xúc xắc. Tính xác suất để xuất hiện ít nhất một mặt 6 chấm. Ta làm từng bước: nếu con thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm thì con thứ hai có thể xuất hiện mặt từ 1 đến 5 chấm. Đó là 5 khả năng. Nếu con thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm thì con thứ nhất có thể xuất hiện mặt từ 1 đến 5 chấm. Đó là 5 khả năng nữa. Cuối cùng, cả hai con đều có thể xuất hiện mặt 6 chấm: thêm 1 khả năng. Tổng cộng có 5 + 5 + 1 = 11 khả năng. Tập hợp các kết quả thuận lợi G có dạng: G = {(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}. Ta được xác suất:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Một lớp có 30 học sinh. Mỗi tiết Lịch sử cô giáo gọi 2 học sinh lên kiểm tra bài cũ, và đến nay chưa ai bị gọi. Tính xác suất để học sinh Hùng bị gọi. Để tính xác suất, ta cần biết có bao nhiêu cặp học sinh khác nhau và có bao nhiêu cặp trong đó có Hùng. Vì thứ tự cô giáo gọi học sinh không có ý nghĩa, ta dùng tổ hợp.

   Bây giờ thì đơn giản. Có tất cả 30 học sinh và ta hỏi có thể lập được bao nhiêu cặp khác nhau. Điều này dẫn đến số tổ hợp

   $${\mathrm{C}}_{30}^2=435$$

   Còn trong bao nhiêu cặp có Hùng? Nếu một trong hai người là Hùng thì còn 29 học sinh có thể cùng Hùng tạo thành cặp (Hùng không thể ghép cặp với chính mình, nên 30 − 1 = 29). Bây giờ đã biết số tất cả các khả năng và số khả năng thuận lợi, ta thay vào công thức:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Chú ý: số tất cả các cặp cũng có thể tính mà không cần tổ hợp. Với lớp 30 học sinh, có thể lập tất cả các cặp như thế nào? Mỗi lần lấy một học sinh rồi lần lượt ghép với tất cả những học sinh còn lại. Chẳng hạn lấy Minh và ghép với từng học sinh khác, ta được 29 cặp. Làm như vậy với mỗi học sinh, tức là với cả 30 học sinh. Ta được tất cả 30 · 29 = 870 cặp. Tuy nhiên mỗi cặp được đếm hai lần, một lần là cặp (Minh; Lan) và lần kia là (Lan; Minh) (tuỳ theo Minh là người được ghép với cả lớp hay là người được ghép với Lan). Vì vậy ta chia kết quả này cho 2 và được kết quả cuối cùng: 870 / 2 = 435.

9. Trong tủ giày có 12 đôi giày. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc giày. Tính xác suất để lấy được đúng 3 chiếc giày chân trái. Đây là một ví dụ rất thiết thực trong đời sống, chắc hẳn bạn đã từng cần biết điều này. Trước hết ta tính xem có thể lấy ra bao nhiêu bộ 3 chiếc giày khác nhau. Ta cần dùng tổ hợp, vì thứ tự lấy giày không có ý nghĩa. Có tất cả 24 chiếc giày và ta muốn lấy 3 chiếc. Ta được số tổ hợp:

   $${\mathrm{C}}_{24}^3=2024$$

   Như vậy có tất cả 2024 tổ hợp 3 chiếc giày khác nhau có thể lấy ra từ tủ. Bây giờ phải tính xem tổ hợp nào là thuận lợi, tức là những tổ hợp 3 chiếc giày chỉ gồm giày chân trái. Trong tủ có tất cả 12 chiếc giày chân trái. Ta chỉ cần tính số tổ hợp có thể lập từ 12 chiếc giày này. Điều đó lại dẫn đến số tổ hợp:

   $${\mathrm{C}}_{12}^3=220$$

   Vậy có 220 tổ hợp chỉ gồm giày chân trái. Đó là tất cả những gì cần biết, giờ chỉ việc thay vào công thức:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Như vậy xác suất lấy được 3 chiếc giày đều là giày chân trái vào khoảng 10%.