Thống kê cơ bản

Thống kê là khoa học nghiên cứu dữ liệu thực tế và tìm cách mô tả dữ liệu đó nhờ lí thuyết xác suất.

Phần riêng về thống kê

Đây là một bài viết cũ và không còn cập nhật; thống kê đã có phần riêng với bài mở đầu Các khái niệm cơ bản của thống kê.

Các khái niệm cơ bản

Thống kê làm việc với một số khái niệm cơ bản, sẽ được mô tả dưới đây.

Trước hết là mẫu số liệu, tức là một tập hợp hữu hạn các dữ liệu mà ta muốn nghiên cứu. Dữ liệu có thể rất chung chung, về nguyên tắc có thể là bất cứ thứ gì. Nếu muốn nghiên cứu mức lương trung bình ở Việt Nam thì mẫu số liệu là tập hợp tất cả mọi người ở Việt Nam. Số phần tử của mẫu số liệu gọi là cỡ mẫu. Như vậy cỡ mẫu của mẫu số liệu vừa xác định bằng dân số Việt Nam.

Tiếp theo là khái niệm đơn vị điều tra, tức là một phần tử cụ thể của mẫu số liệu. Trong ví dụ của ta, đơn vị điều tra là một người cụ thể.

Cuối cùng là dấu hiệu (tiêu chí thống kê), tức là điều ta muốn đo. Trong ví dụ của ta, dấu hiệu chính là mức lương. Dấu hiệu có thể là định tính hoặc định lượng. Dấu hiệu định lượng (lượng = số lượng) là dấu hiệu biểu diễn được bằng số (chẳng hạn mức lương, chiều cao, số con, …), còn dấu hiệu định tính biểu diễn bằng lời (màu sắc, có/không, nghề nghiệp, …).

Tần số

Tần số có thể là tần số tương đối hoặc tần số (tuyệt đối), cho biết có bao nhiêu giá trị của dấu hiệu xuất hiện trong mẫu số liệu: hoặc tính theo số lượng, hoặc tính tương đối so với tổng số phần tử của mẫu.

Điều quan trọng là khi tính tần số, ta phải áp dụng dấu hiệu, vì nếu muốn tính tần số của một đơn vị điều tra thì tất yếu chỉ được số 0 hoặc 1, do mẫu số liệu là một tập hợp, và bản thân tập hợp không cho phép chứa nhiều phần tử giống nhau.

Như vậy tần số của giá trị z của dấu hiệu cho biết số lần giá trị z xuất hiện trong mẫu số liệu S. Ví dụ: xét một lớp có 10 học sinh. Mỗi học sinh có một điểm tổng kết môn Toán trên học bạ, từ 0 đến 10. Điểm được ghi trong bảng sau:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 8& 2& 6& 8& 10& 10& 8& 4& 10& 6\end{array}$$

Chú ý: mẫu số liệu trong ví dụ này là 10 bạn cùng lớp, đại loại như

$$S=\{\text{Minh},\text{Lan},\text{Hùng},\dots \}$$

Để đơn giản, dòng thứ nhất của bảng ghi số thứ tự của học sinh, như vậy dòng thứ nhất là các đơn vị điều tra, tức là các phần tử của mẫu số liệu. Dòng thứ hai ghi các giá trị của dấu hiệu, tức là giá trị “điểm tổng kết môn Toán” của từng học sinh.

Như vậy tần số của giá trị (điểm trên học bạ) z = 6 bằng 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 6 (là các “học sinh” 3 và 10). Tần số của giá trị z = 10 là 3 (các “học sinh” 5, 6 và 9).

Tần số tương đối cho biết bao nhiêu phần trăm giá trị của dấu hiệu trong mẫu số liệu bằng giá trị z. Tần số tương đối của giá trị z tính như sau:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

trong đó z_a là tần số của giá trị z và |S| là cỡ mẫu, tức là số phần tử. Như vậy tần số tương đối của điểm 6 là:

$$r_6=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

Cỡ mẫu của ta là 10, vì lớp có 10 học sinh. Nhân với 100 ta được dạng phần trăm, tức là 20%. Tần số tương đối của điểm 10 là

$$r_{10}=\frac{3}{10}.$$

Số trung bình cộng

Số trung bình cộng, thường gọi tắt là số trung bình, là trung bình của mọi giá trị trong mẫu số liệu. Ở đây “giá trị” được hiểu là giá trị sau khi áp dụng dấu hiệu. Số trung bình tính bằng cách cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số giá trị trong mẫu. Đại khái như sau:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Tôi thêm cả cách viết bằng kí hiệu tổng, phòng khi bạn thấy dễ đọc hơn. Nhưng chỉ cần biểu thức phân số đứng trước là đủ. Các giá trị x là mọi giá trị trong mẫu của ta.

Ví dụ: lấy dữ liệu từ bảng trên và tính điểm trung bình của cả lớp.

$$p_a=\frac{8+2+6+8+10+10+8+4+10+6}{10}=\frac{72}{10}=7,2$$

Điểm trung bình của lớp là 7,2. Như ta thấy, số trung bình có thể cho một giá trị thực ra không phải là giá trị hợp lệ: điểm trên học bạ trong ví dụ này là số nguyên, nên không ai có điểm 7,2.

Số trung bình cũng khó dùng khi một phần dữ liệu có giá trị khác hẳn phần còn lại. Chẳng hạn với mẫu số liệu có các giá trị 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, số trung bình bằng

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Ta thấy giá trị nhận được cách xa mọi giá trị trong mẫu. Giá trị này lớn hơn 6 số đầu nhiều lần và nhỏ hơn giá trị cuối cùng nhiều lần. Đây là vấn đề mà trung vị có thể giải quyết, xem phần sau. Ít ra bây giờ bạn đã biết vì sao hai phần ba số người không đạt mức lương trung bình: có một nhóm nhỏ người có lương cao vượt trội, làm tăng số trung bình cộng.

Trung bình nhân

Trung bình nhân tính tương tự số trung bình cộng, chỉ khác là thay phép cộng bằng phép nhân và thay phép chia bằng căn. Như vậy trung bình nhân tính như sau:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Trung bình nhân có thể dùng làm chỉ số tăng trưởng. Chẳng hạn giả sử giá một sản phẩm năm đầu tăng 10%, năm sau tăng 15% và năm tiếp theo tăng 5%. Khi đó sau 3 năm, giá ban đầu c trở thành

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Trung bình nhân của các hệ số này là:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Điều đó có nghĩa là gì? Nếu mỗi năm giá được nhân với đúng số 1,0992419 (tức là tăng khoảng 9,92%) thì giá cuối cùng vẫn như vậy:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Mốt và trung vị

Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất, kí hiệu là M_o. Trở lại ví dụ về điểm số, mốt là các giá trị 10 và 8, vì chúng xuất hiện nhiều nhất: cả hai đều có tần số 3.

Trung vị là giá trị ở giữa, kí hiệu là M_e. Nếu sắp xếp được các giá trị thành một dãy không giảm

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

thì trung vị là giá trị đứng ở giữa dãy này. Giá trị ở giữa khác nhau tuỳ theo dãy có số phần tử lẻ hay chẵn. Nếu số phần tử lẻ, trung vị là phần tử ở vị trí

$$M_e=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Nếu dãy có số phần tử chẵn thì không có phần tử nào đứng đúng ở giữa (ví dụ: dãy 1, 2, 3, 4 không có phần tử ở giữa). Vì vậy ta lấy trung bình của 2 giá trị ở giữa (trung bình của 2 và 3). Như vậy công thức với n chẵn là:

$$M_e=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Trở lại ví dụ minh hoạ việc dùng số trung bình cộng không phù hợp. Ta có mẫu số liệu s = 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. Mốt bằng 2, vì đó là số duy nhất lặp lại. Để tính trung vị, ta sắp xếp các số thành dãy:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

Dãy có 7 phần tử, nên phần tử ở giữa là a₄, bằng 3.