Bài toán ba cánh cửa

Bài toán ba cánh cửa, còn gọi là bài toán Monty Hall, là một bài toán xác suất khiến không ít người bối rối.

Đề bài

Có 3 cánh cửa. Người dẫn chương trình Monty Hall đặt một chiếc ô tô sau một cánh cửa, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con dê. Nhiệm vụ của bạn là tìm và chọn cánh cửa có ô tô phía sau. Lúc này người dẫn chương trình mời bạn chọn 1 trong 3 cánh cửa, gọi là A, B và C. Bạn chọn một cánh cửa, chẳng hạn B. Tiếp theo người dẫn chương trình, trong 2 cánh cửa còn lại A, C, mở một cánh cửa có con dê phía sau, tức là cho bạn biết một cánh cửa chắc chắn không dẫn đến phần thưởng. Giả sử người đó mở cửa A.

Mấu chốt của bài toán nằm ở bước tiếp theo: người dẫn chương trình đề nghị bạn có thể đổi lựa chọn. Lúc đầu bạn chọn cửa B, sau đó người dẫn chương trình cho biết sau cửa A không có ô tô và đề nghị bạn có thể đổi sang cửa C. Nhưng bạn cũng có thể giữ nguyên lựa chọn ban đầu B.

Bạn sẽ quyết định thế nào? Khả năng ô tô ở sau cửa B lớn hơn hay ở sau cửa C lớn hơn? Hay là như nhau?

Lời giải

Có 3 cánh cửa. Một cánh cửa đã bị loại, nên thực ra chỉ còn 2 cánh cửa. Sau một trong hai cánh cửa này chắc chắn có ô tô. Về 2 cánh cửa còn lại bạn không biết gì cả, không có thêm manh mối nào. Vậy tất nhiên xác suất ở mỗi cửa là 50%.

Phần lớn mọi người nghĩ gần như vậy, nên đừng buồn nếu bạn cũng nghĩ thế. Nhưng tất nhiên lời giải này sai :-).

Lời giải đúng

Nên đổi sang cánh cửa mà người dẫn chương trình không mở. Để hiểu điều này, ta viết ra các xác suất từ đầu. Khi bạn chọn cửa lần đầu, xác suất để ô tô ở đúng sau cửa đó là 1/3. Ta không có thêm manh mối nào, nên xác suất được chia đều, mỗi cửa 1/3.

Như vậy nếu bạn chọn cửa B thì khả năng có ô tô phía sau là 1/3. Đồng thời xác suất ô tô ở sau cửa A hoặc C là 2/3. Vậy khả năng ô tô ở sau một trong các cửa ta không chọn lớn hơn. Đây là điểm quan trọng.

Ở bước tiếp theo, người dẫn chương trình mở một trong các cửa không có ô tô phía sau. Người đó mở cửa A. Vậy sau cửa A không có ô tô. Xác suất 2/3 kia sẽ ra sao? Ta biết rằng xác suất để ô tô ở sau cửa A hoặc C là 2/3, đồng thời biết rằng sau cửa A không có ô tô. Vì vậy toàn bộ xác suất 2/3 dồn sang cửa C. Khả năng ô tô ở sau cửa C là 2/3.

Còn khả năng ở cửa B vẫn giữ nguyên, không hề thay đổi. Như vậy có khả năng 1/3 ô tô ở sau cửa B mà ta đã chọn, và khả năng 2/3 ô tô ở sau cửa C mà ta có thể đổi sang. Do đó đổi lựa chọn là hợp lí.

Nhiều cửa hơn

Có lẽ ví dụ sẽ dễ hiểu hơn nếu tăng số cửa và sửa bài toán như sau: có 10 cánh cửa. Lúc đầu người chơi chọn một cửa, rồi người dẫn chương trình mở tất cả các cửa, trừ cửa đã chọn và cửa có ô tô phía sau. Đề bài thực chất giống như ví dụ trước, chỉ khác là ở ví dụ trước, khi mở “tất cả” các cửa đó, người dẫn chương trình chỉ mở được 1 cửa, vì không thể mở nhiều hơn.

Lúc đầu bạn chọn cửa 1. Khả năng có ô tô phía sau là 1/10. Xác suất ô tô ở sau một cửa khác là 9/10. Tiếp theo người dẫn chương trình loại 8 cửa chắc chắn không có ô tô phía sau, và bạn lại chỉ còn 2 cánh cửa. Khả năng ô tô ở sau cửa mà người dẫn chương trình để lại là 9/10, trong khi khả năng ô tô ở sau cửa bạn đã chọn vẫn là 1/10.

Tài liệu tham khảo

• Wikipedia