비밀번호(PIN)는 몇 가지일까?

자전거에 네 자리 번호를 맞출 수 있는 번호 자물쇠가 있다고 상상해 보자. 또는 결제 카드에 비슷한 네 자리 비밀번호를 정하려는 경우도 있다. 경우의 수는 모두 몇 가지일까? 계산해 보자.

네 자리 번호의 경우의 수

번호가 0부터 9까지의 숫자 하나뿐이라면 경우의 수는 몇 가지일까? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 모두 열 가지이다.

숫자를 하나 더해 두 자리 번호가 되면 경우의 수는 몇 가지일까? 첫 번째 다이얼을 0에 맞추고 두 번째 다이얼로 0부터 9까지의 숫자를 차례로 모두 시험해 본다고 생각하자.

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09

열 가지를 얻는다. 이제 첫 번째 다이얼을 0에서 1로 바꾸어 똑같이 한다.

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

다시 열 가지가 나온다. 이렇게 첫 번째 다이얼의 숫자를 모두 시험해서 9까지 간다.

90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

모두 열 줄이 생기고, 줄마다 열 가지가 있다. 모든 줄의 번호를 더하면 두 자리 자물쇠의 경우의 수는 10 · 10, 즉 100가지이다.

이렇게 계속한다. 자물쇠에 세 번째 숫자를 더하면 경우의 수가 다시 열 배가 된다. 따라서 세 자리 번호는 10 · 10 · 10, 즉 1000가지이다. 그리고 마침내 네 자리 번호의 경우의 수는 다음과 같다.

$$10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$$

지금까지 곱의 법칙만 썼다. 다이얼마다 서로 다른 숫자가 열 개씩 있는 네 자리 자물쇠라면 경우의 수를 거듭제곱으로 다음과 같이 구할 수 있다.

$${10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10$$

다이얼이 3개이고 각 다이얼에서 영어 알파벳 한 글자, 즉 A부터 Z까지 26글자 가운데 하나를 고를 수 있다면 경우의 수는 모두 다음과 같다.

$${26}^3=17576$$

비밀번호를 모두 시험해 보는 방법

번호 자물쇠나 비밀번호의 모든 경우를 시험해 봐야 할 때는 무엇보다 차례대로 해야 한다. 0부터 9까지의 숫자가 있는 네 자리 자물쇠라면 0000에서 시작해 마지막 숫자를 하나씩 올린다.

0000, 0001, 0002, …, 0009

그다음 오른쪽에서 두 번째 다이얼을 돌리고, 다시 마지막 숫자를 돌려 모든 경우를 시험한다.

0010, 0011, 0012, …, 0019

다시 오른쪽에서 두 번째 다이얼을 돌리고 또 모든 경우를 시험한다.

0020, 0021, 0022, …, 0029

0099에 이르면 오른쪽에서 세 번째 다이얼을 돌리고 계속한다.

0100, 0101, 0102, …, 0199

시험할 수 있는 마지막 번호는 9999이다. 그러면 모든 번호를 시험했다고 확신할 수 있다.