Quy tắc Cramer

Quy tắc Cramer dùng để giải hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số khả nghịch.

Hệ Cramer

Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b. Hệ này gọi là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông khả nghịch. Điều đó có nghĩa là định thức của ma trận này khác 0, và ma trận không có dòng hay cột nào phụ thuộc tuyến tính.

Theo định lí Kronecker – Capelli, mọi hệ Cramer đều có nghiệm duy nhất. Định lí Kronecker – Capelli nói rằng nếu rank(A) = rank(A|b) = k thì hệ có nghiệm. Ma trận A của hệ Cramer là ma trận vuông và có hạng lớn nhất có thể. Do đó nếu ghép thêm vào ma trận này một cột bất kì thì cột đó nhất định là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận A. Vì vậy ghép thêm cột của ma trận b không làm tăng hạng của ma trận A.

Định lí Kronecker – Capelli cũng cho biết để viết nghiệm cần n − k tham số, trong đó n là số ẩn và k là hạng rank(A|b). Với hệ Cramer ta có n = k, nên để viết nghiệm cần 0 tham số. Vì vậy mọi hệ Cramer đều có nghiệm duy nhất.

Tiếp theo, kí hiệu A_i là ma trận thu được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bởi cột b. Một cách chặt chẽ, ma trận A_i định nghĩa như sau:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

trong đó a_ij là các phần tử của ma trận A và b_i là các phần tử của ma trận b.

Quy tắc Cramer

Cho Ax = b là một hệ Cramer. Quy tắc Cramer nói rằng hệ này có nghiệm duy nhất (x₁; x₂; …; x_n), trong đó

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Ta minh hoạ ngay quy tắc này bằng một ví dụ nhỏ. Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Ma trận hệ số có dạng:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Định thức của ma trận bằng:

$$|A|=3-8=-5.$$

Tiếp theo lập các ma trận A₁ và A₂. Chúng có dạng:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Tính định thức của các ma trận này:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Rồi lần lượt tính x₁ và x₂. Theo quy tắc Cramer, với x₁ ta có đẳng thức

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Thay số, ta có

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Tương tự với ẩn thứ hai x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là cặp số (x₁; x₂) = (3; 1).

Quy tắc Cramer đặc biệt thích hợp khi muốn chuyển cách giải thành thuật toán, vì nó dễ lập trình. Giải hệ bằng quy tắc Cramer bằng tay thường phức tạp hơn so với giải bằng phương pháp khử Gauss.