✖

Има ли повече четни, или нечетни числа?

Как мислиш, кои числа са повече? Четните, или нечетните? Или са поравно? Как бихме могли да преценим? А другите числа? Има ли повече четни числа, или естествени числа? Естествени числа, или рационални числа? Не е съвсем просто, защото всички споменати числа са безкрайно много. И все пак можем да ги сравним и да установим кои са повече и кои – по-малко.

Нека го покажем с малко множество от числа. Представи си две множества от числа: сини числа и червени числа:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Можем ли по някакъв начин да кажем кои числа са повече? Червените, или сините? Ясно виждаме, че… Какво? Че си далтонист и не го виждаш ясно? Добре, оттук нататък ще показваме червените числа и като квадратчета:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

Добре, сега ясно виждаме, че сините числа са повече от червените. Беше лесно, защото работим с крайни множества от числа и затова можем да ги преброим. Виждаме, че имаме шест сини числа и само три червени. С безкрайните множества няма да е толкова лесно, защото не можем да ги преброим. Нека тогава отговорим на въпроса от заглавието: повече ли са четните, или нечетните числа? За по-голяма простота ще останем при положителните числа. Представи си чувал, пълен с всички нечетни числа, и чувал, пълен с всички четни числа. Кой чувал е по-голям?

1
3
5
7
9
11
13
15
…
2
4
6
8
10
12
14
16
…

Е, да си представим безкрайно много числа не е съвсем лесно, а да ги преброим е още по-трудно. Няма ли друг начин да сравним размерите на множествата?

Сравняване на две крайни множества

Представи си, че имаме чувал, пълен с младоженци, и чувал, пълен с булки. Ако за всеки младоженец имаме по една булка и за всяка булка по един младоженец, можем да кажем, че младоженците и булките са равен брой:

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Виждаш ли? Всяка булка от първия ред има свой собствен съпруг от втория ред и обратно – всеки съпруг има своя съпруга. Може да се случи обаче и друго: всяка булка да има съпруг, но не всеки съпруг да има булка:

👰 👰 👰 👰 👰 ❌

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵

Всяка съпруга има съпруг, но един съпруг остава натъжен и без съпруга. Когато един съпруг ни остава излишен, можем да кажем, че съпрузите са повече от съпругите. Подобно, когато остане излишна една булка,

👰 👰 👰 👰 👰 👰

🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌

можем да кажем, че булките са повече от съпрузите.

Сравняване на две безкрайни множества

Можем ли да използваме този подход при сравняване на две безкрайни множества? Можем ли да съпоставим всяко нечетно число с някое четно число и всяко четно число с някое нечетно число, като нито едно число не използваме повече от веднъж? Можем! Всяко нечетно число n можем да съпоставим с четното число n + 1. Тоест числото 5 съпоставяме с 5 + 1, числото 149 с 150 и т.н. Съпоставянето ни показва следната анимация:

1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

На всяко нечетно червено число съответства уникално синьо четно число, а на всяко четно синьо число съответства уникално червено нечетно число. Успяхме да съпоставим всички нечетни числа с всички четни. А това означава, че четните и нечетните числа са поравно!

Добре, това не беше особено изненадващо, нали? Да сравним други множества от числа: всички естествени числа срещу четните числа. Тук резултатът вече ще е по-шокиращ.

Повече ли са естествените, или четните числа?

Кои числа са повече? Естествените, или четните?

1
2
3
4
5
6
7
8
…
 
2
 
4
 
6
 
8
…

Очевидно естествените числа съдържат в себе си всички четни числа. И освен това естествените числа съдържат още някои числа – нечетните. Следователно е ясно, че естествените числа трябва да са повече – та те съдържат два пъти повече числа!

Ех, де да беше животът толкова прост!

Нас не ни интересува дали едното множество съдържа някои допълнителни числа. Интересува ни дали можем по някакъв начин да съпоставим числата от две различни множества. Можем ли да съпоставим всяко четно число с всяко естествено число? Въпреки че естествените числа са повече? Да, можем.

Всяко естествено число p можем просто да съпоставим с четното число 2 · p и обратно – всяко четно число n можем да съпоставим с естественото число n / 2. Така естественото число 5 съпоставяме с четното число 10, а четното число 14 – с естественото число 7 и т.н. Съпоставянето за първите няколко числа показва следната анимация:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50

Изведнъж за всяко естествено число имаме уникално четно число, а за всяко четно число имаме уникално естествено число! Какво от това, че естествените числа са повече? И едните, и другите са безкрайно много и никога няма да ни свършат. От наша гледна точка множеството на четните числа е също толкова голямо, колкото множеството на естествените числа! 😱

Малко е противоинтуитивно, но е така.

Повече ли са естествените, или рационалните числа?

Рационалните числа са дроби. Всички числа, които могат да се запишат във вида p/q, където p и q са цели числа и q ≠ 0, са рационални числа. Например ½, ¾ или 8 са рационални числа, но π вече не е рационално число. Рационалните числа са много повече от естествените. Например между числата 2 и 4 има само едно цяло число – числото 3, но безкрайно много рационални числа. Безкрайно много рационални числа има и между числата 0,001 и 0,002. Толкова много са рационалните числа!

Човек би очаквал, че множеството на рационалните числа трябва да е по-голямо от множеството на естествените числа. Но в същото време всички някак си подозираме, че има някакъв капан. Добре, нека опитаме да съпоставим рационалните числа с естествените. Започваме, като запишем рационалните числа в такава таблица:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6

Закономерността трябва да е ясна: всички дроби в първия ред имат в числителя (над дробната черта) единица, а в знаменателя последователно нарастващите числа 1, 2, 3 и т.н. В колоната е обратно. Ако продължим до безкрайност, в таблицата ще имаме всички съществуващи дроби. Например дробта 1478/517 се намира на ред 1478 и в колона 517. Нека сега направим нашата съпоставяща функция. Можем да я направим така:

  • Естественото число 1 съпоставяме с първата дроб в първия ред, т.е. с 1/1
  • Естественото число 2 съпоставяме с втората дроб в първия ред, т.е. с 1/2
  • Естественото число 3 съпоставяме с третата дроб в първия ред, т.е. с 1/3
  • Естественото число 4 съпоставяме с четвъртата дроб в първия ред, т.е. с 1/4
  • …

Успяхме ли така да съпоставим всички естествени числа? Да, всяко естествено число има своя двойка. Естественото число 174 е в двойка с дробта 1/174. Но вярно ли е и обратното? Има ли всяка дроб своя двойка сред естествените числа? Каква двойка има дробта 2/3? Никакъв, защото с нашата съпоставяща функция никога не стигнахме до втория ред. Успяхме да съпоставим само първия ред от дроби.

Означава ли това, че рационалните числа са повече от естествените? За съжаление не – това, че една стратегия на съпоставяне не работи, не означава, че няма да работи друга. Нека този път да вървим по диагоналите:

1⁄1
1⁄2
1⁄3
1⁄4
1⁄5
1⁄6
2⁄1
2⁄2
2⁄3
2⁄4
2⁄5
2⁄6
3⁄1
3⁄2
3⁄3
3⁄4
3⁄5
3⁄6
4⁄1
4⁄2
4⁄3
4⁄4
4⁄5
4⁄6
5⁄1
5⁄2
5⁄3
5⁄4
5⁄5
5⁄6
6⁄1
6⁄2
6⁄3
6⁄4
6⁄5
6⁄6
  • Естественото число 1 съпоставяме с дробта 1/1 (първи диагонал),
  • естественото число 2 съпоставяме с дробта 1/2 (втори диагонал),
  • естественото число 3 съпоставяме с дробта 2/1 (втори диагонал),
  • естественото число 4 съпоставяме с дробта 1/3 (трети диагонал),
  • естественото число 5 съпоставяме с дробта 2/2 (трети диагонал),
  • естественото число 6 съпоставяме с дробта 3/1 (трети диагонал),
  • и т.н.

Стратегията на съпоставяне можеш да разгледаш в анимацията:

1⁄1
1
1⁄2
2
1⁄3
4
1⁄4
7
1⁄5
11
1⁄6
16
2⁄1
3
2⁄2
5
2⁄3
8
2⁄4
12
2⁄5
17
2⁄6
 
3⁄1
6
3⁄2
9
3⁄3
13
3⁄4
18
3⁄5
 
3⁄6
 
4⁄1
10
4⁄2
14
4⁄3
19
4⁄4
 
4⁄5
 
4⁄6
 
5⁄1
15
5⁄2
20
5⁄3
 
5⁄4
 
5⁄5
 
5⁄6
 
6⁄1
21
6⁄2
 
6⁄3
 
6⁄4
 
6⁄5
 
6⁄6
 

Така можем да покрием всички дроби. Нито един диагонал не е безкраен, затова в никой диагонал няма да затънем „завинаги“. Накрая на всяка дроб ще е присвоено някое естествено число и, разбира се, на всяко естествено число ще е присвоена някоя уникална дроб.

Е… Всъщност не съвсем. Когато отново погледнем таблицата с дроби, виждаме, че в нея много числа се повтарят. Например дробите 1/1, 2/2, 3/3 и т.н. представят едно и също число – числото 1. По същия начин дробите 1/2, 2/4 и 3/6 представят една половина. Всъщност така естествените числа 1, 5, 13 и т.н. съпоставяме с едно и също рационално число 1! Имаме няколко младоженци, които се женят за една и съща булка. Така не може!

За щастие лесно можем да го поправим. Просто задраскваме от таблицата всички дроби, които не са несъкратими, т.е. всички дроби, които могат да се съкратят. След това в таблицата остават само уникалните рационални числа и номерът ни с диагоналите ще проработи. Всяко естествено число ще бъде съпоставено с уникално рационално число и обратно.

А това означава, че множеството на естествените числа е също толкова голямо, колкото множеството на рационалните числа!

Засега изглежда, че всички безкрайни множества са еднакво големи. Съществува ли безкрайно множество, което е по-голямо от множеството на естествените числа?

Повече ли са естествените, или реалните числа?

В играта влиза последната ни надежда: реалните числа. Други числа на реалната ос вече нямаме. Как изглеждат реалните числа? Реалните числа съдържат в себе си всички рационални числа и освен тях всички ирационални. Ако запишем число в десетичен вид, то рационалното число:

  • или има краен десетичен запис, напр. 0,4841554,
  • или има безкраен периодичен запис: 0,1313131313…

Ирационалните числа, обратно, винаги имат безкраен десетичен запис, който не е периодичен. Ирационално число е например числото π, което е равно на 3,141592653… (без период). Нека още отсега кажем, че реалните числа са много повече от рационалните, а следователно и от естествените. Множеството на реалните числа е по-голямо от множеството на естествените числа. А как можем да го докажем?

Представи си, че сме намерили някаква стратегия за съпоставяне на всички естествени и всички реални числа. Да речем, че е тази:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
…

Да допуснем, че вляво имаме всички естествени числа, а вдясно – всички реални. Ако това беше вярно, нямаше да можем да намерим нито едно реално число, което липсва отдясно. Тъй като вече издадохме, че множеството на реалните числа е по-голямо, това значи, че отдясно ни липсва някакво число. Да, но кое? Например виждаме, че липсва числото 0,4818063607183678. Но какво, ако то се крие под числото 8?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
…

А числото 0,4208424736008147? И него не виждаме. Но какво, ако то се крие под числото девет?

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

Така няма да стане. Тъй като, разбира се, не можем да изпишем всички двойки – те са безкрайно много – не можем просто да гадаем дали това число случайно е там, или не. Трябва да намерим число, което се различава от всички числа отдясно в таблицата, макар да не знаем кои са всички числа отдясно. Как да го направим?

За да са различни две числа, стига да се различават в една цифра. Например числата 0,123456 и 0,123457 не са еднакви – но се различават само в една цифра. Това ни стига. Затова в нашата таблица можем при n-тото реално число винаги да открояваме n-тата цифра след десетичната запетая:

1 → 0,3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
…

а новото число съставяме така, че в n-тата цифра след десетичната запетая да се различава от n-тата цифра на n-тото реално число. Новото число конструираме, като започнем с нула: 0,??? и първата цифра след десетичната запетая избираме така, че да се различава от първата цифра на първото реално число, т.е. да се различава от 3. Записваме например 0,1???. Втората цифра трябва да е различна от втората цифра на второто реално число, т.е. трябва да е различна от 9. Записваме например две: 0,12???. И т.н. Първите девет цифри биха могли да изглеждат така 0,123123127 (виж последния ред на таблицата):

1 → 0.3452807674449021…
2 → 0,8978319745321683…
3 → 0,8972169570849831…
4 → 0,0635759905832629…
5 → 0,0081863365749335…
6 → 0,4000559394278442…
7 → 0,8637537627594889…
8 → 0,4818063607183678
9 → 0,4208424736008147
? → 0,123123127

Виждаме, че това число е различно от всички числа, защото от всяко от тях се различава поне в една цифра. Макар нашата таблица да съдържа безкрайно много числа, новото ни число е съставено от безкрайно много цифри така, че се различава от всички числа в таблицата поне в една цифра. И забележи, че можем да конструираме безкрайно много числа, които не са в таблицата! Какво следва от това? Не можем да съпоставим естествените числа с реалните числа. Винаги ще ни останат безкрайно много реални числа, които няма да са съпоставени с никакво естествено число. Реалните числа са много повече от естествените числа.

Бележки в края

  • В цялата статия, за по-голяма простота, пренебрегнахме отрицателните числа. Те, разбира се, не променят нищо по същество и като домашно можеш да промениш съпоставящите стратегии, споменати тук, така че да работят и с отрицателни числа.
  • Размерът на множеството на естествените числа дори има свое име. Нарича се алеф-нула.
  • В математиката често използваме понятието кардиналност или мощност на множество вместо „размер на множество“.