Матрици

Матрица над поле P е изображение {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Матрицата обикновено се означава с главни печатни букви: A = (…). А сега на разбираем език.

Основни понятия

Матрицата е просто една таблица с n стълба и m реда, като това означаване на редовете и стълбовете не е непременно винаги едно и също, внимавай с това. Във всяка клетка на таблицата има някакво число или друг израз. Матрицата не е задължително да е чисто числова, макар в началото най-вероятно да не се срещнеш с други матрици. Ето как може да изглежда една матрица:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Тази матрица има два реда и три стълба. Елементите на матрицата се означават с индекси и вместо главна буква се използва малка буква: a₁₁ = 0 или a₂₃ = 51. Първият индекс показва реда, а вторият – стълба.

Специални видове матрици

Матриците могат да имат различни свойства и някои специални матрици имат дори свои собствени имена.

Квадратна матрица е матрица, която има еднакъв брой редове и стълбове. Ако матрицата не е квадратна, тя е правоъгълна. Пример за квадратна матрица:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Нулева матрица е матрица, която има нули на всички позиции. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Единична матрица е квадратна матрица, която има единици на главния диагонал и навсякъде другаде нули. Главният диагонал е нещо като „диагоналът“ отляво надясно. Просто това са числата на координатите, където i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Стъпаловидна матрица е матрица, която има нулевите редове накрая (или няма нулеви редове) и всеки ненулев ред има в началото повече нули от предишния ред. Всички тези са стъпаловидни матрици:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Транспонирана матрица на матрицата A е матрицата A^T, за която е изпълнено $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , тоест елементът, който е бил в i-тия ред и j-тия стълб, ще бъде в транспонираната матрица в j-тия ред и i-тия стълб. Просто разменяш редовете на матрицата със стълбовете.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Симетрична матрица е квадратна матрица A, която удовлетворява равенството A = A^T. Елементите, симетрични спрямо диагонала, са равни. Можем да запишем, че a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Антисиметрична матрица е почти същото като симетричната матрица, само че елементите от другата страна имат противоположен знак: A = −A^T. Затова елементите на главния диагонал трябва да са нули, защото a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Диагонална матрица е матрица, която има нули навсякъде освен на главния диагонал. По-точно, навсякъде другаде трябва да има нули, а какво е на главния диагонал, не е определено.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Основни операции с матрици

Матриците можем да събираме, можем да ги умножаваме по някакво число и можем да умножаваме и матрици помежду си.

Събирането на матрици е сравнително интуитивно. Ако матриците са от един и същ тип (= еднакъв брой стълбове и редове), получената матрица ще има на същите позиции сборове на числата на съответните позиции в предишните матрици. С други думи, ако събираме матриците A + B = C, то е изпълнено a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Събирането на матрици е очевидно комутативно и асоциативно. A + B = B + A и A + (B + C) = (A + B) + C.

Умножението на матрица по число също е интуитивно. Вземаш числото и умножаваш по него всеки елемент на матрицата, нищо повече. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Умножение на матрици

Умножението на матрици е малко по-неприятна работа, защото вече не е интуитивно, както би се очаквало. Не е достатъчно да умножим само съответните членове. Най-напред матриците трябва да отговарят на условието, че броят на стълбовете на първата матрица трябва да е равен на броя на редовете на втората матрица. Останалото може да е произволно. Сега вече можем да определим произведението (n е броят на стълбовете на първата матрица):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Много ясно, нали? Сега ще се опитам да го обясня и на по-малко схватливите :-). Вземаш първия ред на първата матрица и първия стълб на втората матрица. Умножаваш първия елемент по първия елемент и прибавяш произведението на втория елемент с втория елемент и прибавяш и т.н. Така получаваш в новата матрица C елемента c₁₁. Най-добре ще е с пример. Ще умножим тези две матрици:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Сега избираме първия ред на първата матрица и първия стълб на втората матрица:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

За прегледност на записа новополучената матрица ще означим с C. Ако искаме да получим първия елемент на тази матрица, трябва да пресметнем това: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Обръщам внимание, че на първо място в индекса е редът, после стълбът. След заместване получаваме: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Първият елемент има стойност 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Следващия елемент, c₁₂, получаваме по същия начин, само че вземаме първия ред и втория стълб. С това дълго пресмятане винаги получаваме елемента, който те имат общ. Първият ред и първият стълб имат общ елемент на координати c₁₁, първият ред и вторият стълб пък – c₁₂. Нагледно го показва следната картинка:

Произведение на матрици

Сега само бързо умножаваме останалата част от матрицата:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Тези числа само записваме в матрицата:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Правилността на резултата можем да проверим например в Excel или в LibreOffice Calc, които съдържат функции за работа с матрици.

Сега няколко общи сведения за умножението на матрици. Преди всичко умножението на матрици не е комутативно. В общия случай не е вярно, че A · B = B · A, макар разбира се такъв случай да може да настъпи. Но умножението на матрици е асоциативно. Спрямо събирането е дори дистрибутивно: A (B + C) = AB + AC. Ако умножаваме две матрици a_ix · b_xn, получената матрица ще е от тип i × n (ще има толкова реда, колкото има първата матрица, и толкова стълба, колкото има втората матрица).

Примери

Дадени са тези три матрици:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Намери произведението на матриците A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Намери произведението на матриците B · A.

Внимавай, умножението на матрици не е комутативно, така че със сигурност не можем да твърдим, че резултатът ще е същият като в предишния случай. Просто трябва да пресметнем всичко отново:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Намери произведенията на матриците A · C и C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Втория пример не можем да пресметнем, защото броят на стълбовете на първата матрица е различен от броя на редовете на втората матрица.

Основни матрични преобразувания

За да работим ефективно с матрици, трябва да определим някои елементарни матрични преобразувания. Първо, можем да умножим ред/стълб на матрицата по число, различно от нула. Умножението се отразява както при k-кратното на матрица, но само в този ред/стълб.

Второто преобразувание е прибавяне на k-кратното на j-тия ред към i-тия ред. Същото важи и за стълбовете. Звучи малко страшно, но всъщност е просто. Ще го покажем за k = 1. Ще имаме тази матрица:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Сега към първия ред прибавяме втория ред. Вземаме втория ред и прибавяме числата му към числата на съответните позиции в първия ред. С числата от втория ред нищо не се случва, променя се само първият ред:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Сега можем да продължим с преобразуванията. Ще опитаме да прибавим двойното на първия ред към третия ред. Вземаме от тази новополучена матрица първия ред, умножаваме го по две, с което получаваме реда (10; 14; 18), и тези числа прибавяме към третия ред. Отново – първият ред не се променя, променя се само третият ред:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Сега пък прибавяме към третия ред сбора на първия и втория ред. По същество това не е нищо ново, защото ако към третия ред прибавим първо втория ред, а след това първия ред, трябва да стигнем до същия резултат. Сборът на първия и втория ред ще е равен на: (5; 7; 9) + (4; 5; 6) = (9; 12; 15). Сборът на този ред с третия ред ще е равен на: (9; 12; 15) + (17; 22; 27) = (26; 34; 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

И още едно преобразувание със стълбове (те обикновено не се използват толкова често, защото не са толкова прегледни). Прибавяме първия стълб към втория стълб:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

И съвсем накрая умножаваме втория ред по две:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Линейна зависимост

Сега ще обясним още какво са зависими редове/стълбове. Редът е линейно зависим, ако този ред може да се изрази като линейна комбинация на останалите редове на матрицата. Просто ако можеш по различен начин да събираш редове така, че накрая да получиш търсения ред, този ред е линейно зависим. Пример:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Ако вземеш двойното на първия ред и втория ред, получаваш третия ред. Ако извадиш тази комбинация от третия ред, получаваш нулев ред (ред, съдържащ само нули). Този ред е зависим. Преобразуванията извършваме така (умножаваме първия ред по две, прибавяме към втория ред, изваждаме от третия ред):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Ако имаме матрица A, която има n реда, а A_i означава i-тия ред, казваме, че матрицата не съдържа линейно зависим ред, ако:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

тогава и само тогава, когато α₁, α₂, …, α_n = 0. Нулата от дясната страна на равенството представлява нулев ред. Тоест ако единственото решение на това уравнение е нулевото решение. Ако намерим друго решение, матрицата съдържа линейно зависим ред. Подобно е и за стълб. За предишната матрица би било изпълнено:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Тоест стойностите на алфа са α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Броят на независимите редове или стълбове се нарича ранг на матрица.

Неособени и особени матрици

Една матрица се нарича неособена, ако има максимален ранг (тоест ако в нея няма линейно зависим ред) и ако е квадратна. Квадратна матрица се нарича особена, ако не е неособена (тоест ако матрицата съдържа поне един линейно зависим ред). Тези две понятия са доста важни, на тях често се опират някои определения. Много неща са определени само ако матрицата е неособена.

Свързани статии

« Предишна: Решетки

Следваща: Ранг на матрица »