Векторни пространства

Векторното, понякога наричано още линейно, пространство представлява множество от елементи, които трябва да удовлетворяват някои свойства, благодарение на които елементите на това множество, наречени вектори, се държат „добре“.

Пример за векторно пространство

Преди да определим векторното пространство, ще покажем пример за векторно пространство, което вече би трябвало да познаваш от гимназията, само че не знаеш, че е векторно пространство. Това са обикновените вектори в равнината.

Под вектор в равнината разбираме наредена двойка (a; b), където a, b ∈ ℝ. Това са произволни координати в пространството ℝ² (с това се има предвид декартовото произведение ℝ × ℝ). Такъв вектор можем да изобразим със стрелка от точката (0; 0) до точката (a; b). Векторът (2; 3) би изглеждал така:

Знаем, че векторите можем да събираме по правилото (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Сборът на векторите (2; 3) + (4; 1) би бил равен на вектора (2 + 4; 3 + 1) = (6; 4). Графично бихме го изобразили така:

Освен това можем да пресметнем k-кратното на вектор, където k е реално число. k-кратното записваме като k · (a; b). Резултатът е нов вектор, който е определен като k · (a; b) = (k · a; k · b). Графично това се проявява така, че векторът се „разтегля“, „скъсява“ или променя посоката си. Ако имаме вектора u = (2; 3), то векторите 2 · u, $\frac{1}{2}u$ и −1 · u изглеждат така:

Че множеството на всички вектори ℝ² с така определените операции образува векторно пространство, ще докажем по-късно. Първо ще определим векторното пространство и върху това векторно пространство ℝ² ще покажем отделните свойства.

Определение на векторно пространство

Векторно пространство (или още линейно пространство) е непразно множество V, чиито елементи наричаме вектори. Освен това върху множеството трябва да съществуват две операции: събиране на вектори, тоест изображение V × V ⟶ V, и умножение на вектор с реално число, тоест изображение ℝ × V ⟶ V. (По-общо, вместо множеството на реалните числа може да се използва произволно поле, но за това в по-късни статии.) Събирането на вектори означаваме със знака +, умножението с ·. Тези две операции трябва да удовлетворяват следните условия. Тоест за всички x, y, z ∈ V и за всички a, b ∈ ℝ трябва да е изпълнено (обърни внимание, че векторите x, y, z са с удебелен шрифт, а числата a, b са с обикновен):

1. x + y = y + x: събирането на вектори е комутативно. Ако се върнем към примера с векторите в ℝ², няма значение дали ще съберем векторите така (2; 3) + (4; 1), или обратно: (4; 1) + (2; 3).

• (x + y) + z = x + (y + z): събирането на вектори е асоциативно. Отново можем да заместим някакви вектори от ℝ² и ще видим, че се получава.
• a · (b · x) = (a · b) · x: асоциативен закон за умножението. За нашите вектори е изпълнено, че 4 · (5 · (6; 7)) е същото като (4 · 5) · (6; 7). И двата примера водят до вектора (20 · 6; 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: дистрибутивен закон за векторите от V. Отново виждаме, че 2 · ((2; 3) + (4; 5)) е същото като 2 · (2; 3) + 2 · (4; 5). И двата израза водят до вектора (2 · 6; 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: дистрибутивност на събирането на числата.
• 1 · x = x: ако умножим произволен вектор с реалното число 1, стойността на вектора не се променя. В нашия случай 1 · (5; 8) = (5; 8).
• Съществува елемент 0 ∈ V, такъв че 0 · x = 0. Удебелената нула, тоест 0, е така нареченият нулев вектор, а неудебелената нула 0 е просто числото нула. Това условие казва, че във V трябва да съществува вектор, който получаваме, като умножим произволен вектор x ∈ V с числото нула. За нашето пространство ℝ² това е векторът (0; 0), защото за всички вектори (a; b) ∈ ℝ² е изпълнено, че 0 · (a; b) = (0; 0).

Това са всички свойства, на които трябва да отговаря векторното (линейното) пространство V. Когато умножаваме вектор с някакво реално число a, това число a наричаме скалар. Затова често говорим за умножение със скалар и имаме предвид израз от вида a · x, където a е реално число, а x е вектор.

Двойно значение на знака плюс +

Внимавай: в някои изрази знакът плюс + може да има двойно значение. Например в условието за дистрибутивност на събирането на числата имаме равенството (a + b) · x = a · x + b · x. При това знакът + от лявата страна на равенството събира реални числа, защото и a, и b са реални числа, а от дясната страна събира вектори, защото резултатът от произведението a · x е вектор.

Това автоматично разпознаване в математиката се използва често – от контекста винаги е ясно за какво събиране става дума. Ако имаме израза x + y и x, y са вектори, използваме векторен сбор. Ако x, y бяха числа, щяхме да използваме обикновения сбор. Ако бяха матрици, щяхме да използваме матричния сбор и т.н.

Бихме могли да използваме за събирането на вектори друг знак, например ⊕. Тогава дистрибутивността на събирането на числата бихме записали така: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Обикновеният + тук означава събиране на реалните числа a, b, а знакът ⊕ означава събиране на вектори. Най-често обаче и за двата вида събиране се използва един знак + и значението му се разпознава от контекста. Същото важи и за знака ·.

Векторно пространство R²

В първата част определихме векторното пространство V = ℝ², а сега ще докажем, че наистина става дума за векторно пространство. Първо трябва да проверим дали операциите събиране и умножение са определени правилно. Събирането трябва да събира два вектора и резултатът трябва да е нов вектор. Това е изпълнено, защото (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). От сбора на два вектора от ℝ² се получава нов вектор от ℝ².

Ако например определим събирането на вектори като сбор на дължините им, това не би била валидна операция събиране във векторно пространство. Дължината на вектора (a; b) бихме пресметнали като $\sqrt{a^2+b^2}$. Резултатът от сбора (3; 4) + (5; 12) би бил числото $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, което не е вектор на пространството ℝ².

След това трябва да проверим дали умножението е определено правилно. Умножението умножава реално число с вектор от ℝ² и резултатът трябва да е нов вектор от ℝ². Това отново е изпълнено, защото умножението със скалар сме определили като k · (a; b) = (k · a; k · b).

Последователно ще проверим всичките 7 свойства, на които трябва да отговаря векторното пространство. Вместо отделните вектори x, y ще заместваме нашите вектори (a; b), (c; d), … според това как ще ни е удобно, не се плаши от това.

1. x + y = y + x, комутативност на събирането на вектори. Комутативно ли е определеното от нас събиране на вектори? Да, защото е определено като (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Ако отляво разменим векторите, получаваме: (c; d) + (a; b) = (c + a; d + b). Тъй като c + a е сбор на две реални числа, а сборът на реални числа е комутативна операция, е изпълнено c + a = a + c и същото за втората двойка: d + b = b + d. Така е изпълнено (a + c; b + d) = (c + a; d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Това ще е игра със скоби. По същество са прости преобразувания, само че ще са непрегледни, защото скобите просто ще са много. Ще опитаме да пресметнем този сбор на вектори:

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c;b+d)+(e;f)=((a+c)+e;(b+d)+f)$$

Тъй като a, c, e са реални числа и операцията събиране е асоциативна върху реалните числа, е изпълнено (a + c) + e = a + c + e. Същото за втората координата. Можем да запишем, че

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c+e;b+d+f)$$

Сега ще опитаме да съберем същите вектори с различно подредени скоби:

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a;b)+(c+e;d+f)=(a+(c+e);b+(d+f))$$

Отново е изпълнено a + (c + e) = a + c + e, така че можем да запишем, че

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a+c+e;b+d+f)$$

Така виждаме, че както и да поставим скобите в сбора на три вектора, винаги стигаме до един и същ вектор (a + c + e; b + d + f). Операцията събиране в ℝ² е асоциативна и удовлетворява и второто свойство на векторните пространства.

Можеш да опиташ да замениш променливите a, …, f с конкретни числа и ще видиш, че се получава.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Отново първо разписваме лявата страна на равенството, като вместо x заместваме вектора (c; d):

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=a\cdot (b\cdot c;b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c);a\cdot (b\cdot d))$$

Тъй като умножението на реални числа е асоциативно, получаваме равенството a · (b · c) = a · b · c. Можем да запишем:

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Сега разписваме дясната страна на равенството, тоест страната (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=((a\cdot b)\cdot c;(a\cdot b)\cdot d)$$

Отново е изпълнено (a · b) · c = a · b · c, така че:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Виждаме, че двете страни на равенството водят до вектора (a · b · c; a · b · d), така че равенството е вярно.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Процедурата ще е същата, разписваме лявата страна на равенството:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=a\cdot \left((c+e;d+f)\right)=(a\cdot (c+e);a\cdot (d+f))$$

Тъй като a, c, e са реални числа, за които дистрибутивният закон е в сила, получаваме равенството: a · (c + e) = ac + ae. Можем да запишем:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=(ac+ae;ad+af)$$

Дясната страна на равенството:

$$a\cdot (c;d)+a\cdot (e;f)=(ac;ad)+(ae;af)=(ac+ae;ad+af)$$

Виждаме, че лявата и дясната страна на равенството след преобразуванията са равни.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Ще действаме много подобно на предишната стъпка. Преобразуване на лявата страна на равенството:

$$(a+b)\cdot (c;d)=((a+b)\cdot c;(a+b)\cdot d)=(ac+bc;ad+bd)$$

Дясната страна:

$$a\cdot (c;d)+b\cdot (c;d)=(ac;ad)+(bc;bd)=(ac+bc;ad+bd)$$

• 1 · x = x: Макар да не вярвам, че някой изобщо е успял да дочете до тази точка, нека бъде, продължаваме :-). Тази точка поне е проста. Трябва да проверим, че 1 · (a; b) = (a; b). Това със сигурност е вярно, защото

$$1\cdot (a;b)=(1\cdot a;1\cdot b)=(a;b)$$

• Съществува елемент 0 ∈ ℝ², такъв че 0 · x = 0: това е векторът (0; 0). За него е изпълнено, че 0 · (a; b) = (0; 0), защото

$$0\cdot (a;b)=(0\cdot a;0\cdot b)=(0;0)$$

Размер на векторните пространства

Кое е най-малкото векторно пространство? От определението знаем, че векторното пространство е непразно множество V, така че най-малкият възможен размер, за който можем да мислим, е множество с един вектор. От седмото условие на определението знаем, че пространството трябва да съдържа нулев вектор. Множеството V = {0} е кандидат за най-малко векторно пространство.

Събирането можем да определим като 0 + 0 = 0, а умножението като a · 0 = 0. Каквото и да направим, винаги получаваме нулевия вектор. Очевидно това едноелементно множество ще има всичките седем изисквани свойства.

Вече знаем, че съществува едноелементно векторно пространство. Съществува ли векторно пространство, което ще има два елемента? Можем ли за множеството V = {x, 0} да определим операциите събиране и умножение така, че да се получи векторно пространство?

Отговорът е, че не, двуелементно векторно пространство не съществува. Не съществува и никакво друго крайно векторно пространство освен споменатото едноелементно. Всички останали векторни пространства са безкрайни. Ако обаче, както беше загатнато, вместо множеството на реалните числа използваме някакво друго, крайно, поле, бихме могли да получим и друго крайно векторно пространство.

Обобщение

Определението на векторните пространства не е съвсем просто, векторите и операциите трябва да удовлетворяват общо 7 условия, което не е малко. От друга страна, тези условия са доста тривиални и разбираеми – целта им е с векторите да се работи удобно. Благодарение на определените условия можем да събираме вектори от векторното пространство, без да проверяваме дали резултатът от събирането няма да бъде някакъв вектор от друго векторно пространство. По същия начин можем да умножаваме вектор с реално число и винаги получаваме вектор от същото пространство. Че векторите и операциите им спазват комутативния, асоциативния и дистрибутивния закон, също е доста естествено.

Векторното пространство бихме могли да определим и по-общо. Вместо множеството на реалните числа можем да вземем произволно поле. За това обаче в по-късни статии.