✖

Алгебрични полета

За да разбереш следващото изложение, не са ти нужни специални математически умения или знания. Достатъчно е да владееш съвсем основите на училищната математика и да имаш желание да научиш нещо ново.

Плашилото на име алгебрично поле

Ако самото название алгебрично поле ти внушава страх, знай, че наистина няма от какво да се боиш. Всъщност полето е много проста работа, щом го погледнем от правилния ъгъл.

Алгебрично поле е всяко произволно множество плюс две двуместни операции, които удовлетворяват определени условия. Това е всичко – нито повече, нито по-малко. Както виждаш, няма нищо опасно или страшно. А щом знаем това, можем без страх да погледнем малко по-отблизо.

Множество от елементи на полето

Произволното си множество ще означим с T, а елементите му ще наричаме елементи на полето. Повярвай ми, множеството от елементи на полето може да бъде съвсем произволно. Може да е множеството на всички четни числа, множеството на всички чорапи, на които нямаш чифт, или например колекцията ти от плюшени слончета. Може би единственото условие е множеството T да не е празно. Иначе нямаше да ни е особено забавно.

Двуместна операция

Ако не ти е веднага ясно какво всъщност е двуместната операция, можеш да си я представиш като малка мелничка. Пускаш в нея два (оттам идва „двуместна“ в името) елемента на някакво множество, завърташ леко манивелата и от нея изпада още един елемент от същото множество. Добър пример за двуместна операция е делението. Интересува те колко е 10 / 5? Вземи двуместната операция деление (мелничката), като множеството ти е множеството на реалните числа. Сипи в мелничката първо десетката, после петицата, завърти манивелата и, о, чудо, изпада двойка.

Двете си операции ще наречем събиране и умножение и ще ги означаваме с ⊕ и ⊗. Не се подвеждай от названията им. Тези операции може да нямат много общо със събирането и умножението, които използваме обикновено. Причината е, че елементите на полето могат да бъдат произволни обекти. А върху плюшени слончета или чорапи „нашето“ събиране и умножение не може да се приложи.

Операции в полето

Операциите ⊕ и ⊗ трябва да удовлетворяват определени условия. Не можем да ги въведем съвсем произволно. Смисълът на въвеждането им е да обобщим обикновеното събиране и умножение, които използваме за числата. Искаме тези операции да могат да се въведат така, че да ги прилагаме върху елементи на полето, които, както вече знаем, могат да бъдат съвсем произволни обекти, а не само числа. И все пак искаме ⊕ и ⊗ да запазят някакъв основен смисъл на събирането и умножението. Това постигаме, като въведем десет условия, на които трябва да отговарят операциите, за да бъде структурата ни поле. Тези условия ще наричаме аксиоми на полето. Ето ги:

  1. Комутативност на събирането – за произволни два елемента a, b от полето T трябва да е изпълнено a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Асоциативност на събирането – за произволни три елемента a, b, c от полето T трябва да е изпълнено (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Съществуване на нулев елемент – в полето T трябва да съществува елемент, който ще означим с 0 (внимание, да не се бърка с числото 0), със свойството, че за произволен елемент a от полето T е изпълнено a ⊕ 0 = a.
  • Съществуване на противоположен елемент – за всеки елемент a от полето T трябва да съществува елемент от полето T, който ще означим с -a, със свойството, че е изпълнено a ⊕ −a = 0.
  • Комутативност на умножението – за произволни два елемента a, b от полето T трябва да е изпълнено a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Асоциативност на умножението – за произволни три елемента a, b, c от полето T трябва да е изпълнено (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Съществуване на единичен елемент – в полето T трябва да съществува елемент, който ще означим с 1 (внимание, да не се бърка с числото 1), със свойството, че за произволен елемент a от полето T е изпълнено a ⊗ 1 = a.
  • Съществуване на обратен елемент – за всеки елемент a от полето T, различен от 0, трябва да съществува елемент от полето T, който ще означим с a−1, със свойството, че е изпълнено a ⊗ a−1 = 1.
  • Дистрибутивност – за произволни три елемента a, b, c от полето T трябва да е изпълнено a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Нетривиалност – нулевият и единичният елемент не бива да са един и същ елемент. Тоест 0 ≠ 1.

За онзи, който иска да се поупражнява в математическия формализъм, тук съм записал аксиомите на полето така, както се записват на математически жаргон.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Може би си мислиш, че аксиомите са страшно много. Всички обаче се разбират лесно, щом осъзнаем какво означават. Първите четири описват обичайните свойства на събирането, а следващите четири – обичайните свойства на умножението, които освен това много приличат на първите четири. Деветата аксиома казва в каква връзка са помежду си събирането и умножението. Само десетата е по-скоро техническа работа, която гарантира, че полето не може да има някакви странни свойства.

Обърни внимание колко ловко избегнахме въвеждането на изваждането и делението. Тези операции се определят чрез прибавяне на противоположния елемент и умножение по обратния елемент. Тоест например 4 − 2 е само съкратен запис на 4 + (−2), а 4 / 2 е само съкратен запис на 4 · 2−1.

Преглед на полетата

Вече сме въвели формално понятието алгебрично поле. Ако искаме да изразим интуитивно какво всъщност е полето, можем да кажем, че това е структура, която ни позволява да събираме, изваждаме, умножаваме и делим произволни обекти, за които можем да определим тези операции, и то по начин, подобен на този, по който извършваме операциите в елементарната аритметика.

Първото ни поле

След като толкова добре измислихме и описахме полетата, нека построим някое истинско поле. Първо избираме множеството от елементи на полето. Засега няма да експериментираме много с плюшени слончета или чорапи и ще изберем за елементи на полето естествени числа. За да бъде всичко наистина просто, ще вземем само числата 0, 1, 2, 3, 4. Тоест нашето множество T ще изглежда така:

T={0,1,2,3,4}

Остава само да определим по подходящ начин операциите ⊕ и ⊗. Тук ще си помогнем със събирането и умножението, които вече познаваме от аритметиката. Ще ги променим малко, за да работят и в нашето поле.

  • Операция ⊕ Сбора на два елемента a ⊕ b получаваме, като пресметнем остатъка при деление на пет на сбора a + b. Събиранията в нашето поле ще изглеждат така: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 и т.н.
  • Операция ⊗ Произведението на два елемента a ⊗ b получаваме, като пресметнем остатъка при деление на пет на произведението ab. Умноженията в нашето поле ще изглеждат така: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    и т.н.

Това е всичко. Вече имаме готово пълноценно поле. Остава да проверим дали са изпълнени всички аксиоми, за да сме сигурни, че наистина сме направили поле, а не някакво недоразумение.

  • Комутативността и асоциативността на събирането и умножението със сигурност можеш да провериш сам, както и дистрибутивността.
  • От начина, по който определихме събирането и умножението, следва също, че съществуват нулев елемент (в нашия случай това случайно е числото 0) и единичен елемент (в нашия случай 1), които са различни помежду си.
  • Остава да проверим само съществуването на противоположен и обратен елемент. Със сигурност всички виждаме, че за всяко число от множеството {0, 1, 2, 3, 4} съществува число от същото множество, така че сборът им е нула или пет (тоест в нашето поле 0).
  • Подобно е положението и при умножението: за всяко ненулево число от това множество съществува число, с което произведението дава при деление на пет остатък 1 (тоест в нашето поле 1). Например числото 4 има обратен елемент 4, защото 4 · 4 = 16 и при деление на 5 остатъкът е 1. Опитай се да намериш останалите обратни елементи!

Примери за други полета

Преди малко построихме поле, което има пет елемента. Оказва се, че по същия начин могат да се построят и други полета, чийто брой елементи е просто число. Такива полета се наричат полета на остатъчните класове и се означават с Zp, където p е броят на елементите на полето. Те се използват много често както в математиката и информатиката, така и разбира се в различни задачи за контролни.

Могат ли да се построят полета и с брой елементи, който не е просто число? Да, могат, но вече не по начина, който показах преди малко. Защо? Представи си поле, построено по описания по-горе начин, което има само четири елемента. В такова поле е изпълнено 2 ⊗ 2 = 0. Тоест произведението на две ненулеви числа е нула. Това не бива да се случва в поле. Не е забранено директно в аксиомите на полето, но доста лесно се извежда от тях. Оказва се обаче, че ако вместо числа за елементи на полето се използват многочлени, могат да се построят и полета, чийто брой елементи е степен на просто число. Тоест четириелементно поле съществува, защото четири е степен на две.

Разбира се, възможни са и полета с безкрайно много елементи. Така например множеството на реалните числа плюс обичайните ни операции събиране и умножение също образува поле. Това, разбира се, важи не само за реалните числа, но и за рационалните и комплексните. Естествените и целите числа не образуват поле, защото в тях липсват противоположни, съответно обратни елементи.

А най-хубавото е накрая. Никой, разбира се, не ни предписва, че полетата трябва да са съставени от числа, многочлени или изобщо от някакви математически обекти. Както вече казах, можеш да направиш поле от чорапи, плюшени слончета и т.н. Единственият проблем вероятно ще е как да определиш събирането и умножението върху слончета. Интересното тук е, че никога няма да успееш да направиш поле, което съдържа шест чорапа. Защото шест не е нито просто число, нито степен на просто число. Но можеш спокойно да направиш поле от седемнайсет чорапа, да номерираш всеки от тях (белият чорап ще е 0, черният 1, зеленият 2 и т.н.) и после да ги събираш така, както ние събирахме в полето на остатъчните класове.

И за какво е всичко това?

Ако си дочел дотук, може би се питаш за какво по дяволите ни е такава луда структура като алгебричното поле. Е, полетата са много важни както от теоретична гледна точка, защото описват и най-вече обобщават онова, което би могло да се нарече смятане, тоест аритметика, така и от практична гледна точка, защото много математически или информатични задачи се решават по-лесно, ако си ги представим като смятане в полета. Крайните полета са важни например за кодовете на CD и DVD дисковете. Иначе, що се отнася до самата линейна алгебра, полетата са основата за други, по-сложни и затова много по-полезни и интересни структури, каквито са например векторните пространства. Те пък са основата на цялата линейна алгебра.

Автор на тази статия е Lishaak.