Изнасяне пред скоби

Преди да се заемем с изнасянето пред скоби, ще разгледаме разкриването на скоби, защото то е тясно свързано със самото изнасяне. Дори може да се каже, че изнасянето пред скоби е напълно обратно действие на разкриването на скоби.

Разкриване на скоби

Разкриването на скоби е просто действие, което ще покажем на пример: нека пресметнем израза 3 · (5 + 8). Имаме два начина да постъпим. Можем да пресметнем сбора в скобата и да получим 3 · 13, защото 5 + 8 = 13.

Вторият начин е да разкрием скобата. Това означава, че вземаме числото пред скобата, тройката, и с него умножаваме двете числа в скобата. Знакът плюс в скобата остава. Така получаваме:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

И двата подхода водят до един и същ резултат: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Защо разкриването на скоби работи

Защо можем да си позволим този подход, защо разкриването работи? Нека си представим произведението като многократно събиране. Ако например напишем 3 · 7, казваме, че искаме да съберем три пъти числото седем, т.е. 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

По същия начин можем да разпишем и пример със скоба: 3 · (5 + 8) е същото като (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Тъй като при събирането редът няма значение, можем да махнем скобите и да преместим петиците и осмиците една до друга така: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. И тук вече виждаме, че този израз можем да препишем с умножение така: 3 · 5 + 3 · 8, което е точно това, което направихме при разкриването.

Примери за разкриване на скоби

1. Разкрий скобите в 5 · (4 + 7). Пак просто умножаваме числата в скобата с петицата и получаваме 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Разкрий скобите в 6 · (x + 4). Да не се плашим от неизвестното и просто да го умножим също с шестицата. Получаваме: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Разкрий скобите в x · (4 + 173). Сега имаме неизвестно пред скобата, така че двете числа в скобата умножаваме с x. Получаваме x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Разкрий скобите в: 4x · (2x + 7). Сега имаме неизвестно и пред скобата, и в нея, а освен това пред скобата има по-сложен израз. Това отново не пречи, съдържанието на скобата умножаваме с 4x така: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Просто изнасяне пред скоби

Изнасянето пред скоби е обратното действие на разкриването на скоби. В началото имаме например израза 10x + 5. Ако сега намерим някакво число, на което можем да разделим смислено двете събираеми, можем да изнесем това число, както се казва. В нашия израз това ще е числото 5, защото 10x / 5 = 2x и 5 / 5 = 1. Така можем да напишем, че

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Когато обратно разкрием скобата 5 · (2x + 1), получаваме отново 10x + 5. Целта на изнасянето пред скоби обикновено е да опростим дадения израз или да го доведем до вид на произведение, за да можем да го съкратим в дроб.

Изнасяне на неизвестно

Често се изнася самото неизвестно, не е нужно да изнасяме само число. Така че ако имаме израза 3x² + 7x, можем да изнесем от него x, т.е. двата члена делим на x, добавяме скоби и скобата умножаваме с x. Получаваме 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Обикновено се опитваме да изнесем колкото се може повече неща, така че ако имаме израза 8x² + 12x, можем да изнесем само x и да получим 8x² + 12x = x · (8x + 12), но виждаме, че от скобата можем да изнесем още числото 4. Можем да го направим сега, допълнително, и получаваме: x · (4 · (2x + 3)). Външните скоби можем да ги махнем и получаваме: 4x · (2x + 3).

До същия резултат обаче бихме стигнали, ако от първоначалния израз 8x² + 12x изнесем направо израза 4x. Ако го разпишем, ще получим

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Изнасяне при по-сложни изрази

Досега изнасяхме само от изрази, които съдържат две събираеми. Можем обаче да изнасяме и от по-дълги изрази. Например от 7x³ + 5x² + 2x можем да изнесем x и получаваме x · (7x² + 5x + 2).

Освен това не е необходимо винаги да изнасяме само някакво хубаво число, можем да изнесем каквото и да е. Например от израза 6x + 7 можем да изнесем числото 2, но получаваме грозен резултат, защото и двата члена трябва да разделим на две. При 6x всичко е наред, защото 6x / 2 = 3x, но при числото 7 вече не излиза много красиво: 7 / 2 = 3,5. Така получаваме израза: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Решени примери

• Изнеси пред скоби по подходящ начин 25x + 45. На пръв поглед се вижда, че можем да изнесем числото 5, така че получаваме 5 · (5x + 9).

• Опрости дробта

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Първо в числителя на дробта изнасяме x. Така получаваме в числителя x · (3x + 7). Сега можем да съкратим x в цялата дроб.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Изнеси пред скоби по подходящ начин −2x² − 8x. Тук за първи път имаме отрицателни числа. Това изобщо не пречи, както изнасяхме положителни числа, така можем да изнасяме и отрицателни. Така можем веднага да изнесем −2x. Получаваме

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$