Линейно уравнение

Линейно уравнение е такова уравнение, което можем да преобразуваме във вида ax + b = 0, където a ≠ 0. Конкретен пример е 2x + 4 = 0. Решение на това уравнение е числото −2, до което може да се стигне доста логично. Ако числата са малко по-големи, досещането вече няма да е толкова лесно, така че ни трябва по-конкретен метод.

Стандартен вид на линейното уравнение

По-точно казано, това е уравнение с едно неизвестно x, което с еквивалентни преобразувания може да се приведе във вида ax + b = 0, където a ≠ 0. Неизвестното в него не е по никакъв начин повдигнато на степен, коренувано и т.н. Уравненията с неизвестно в знаменателя на дроб могат да се приведат в този вид само при условие че знаменателят не е нула. Затова ги решаваме отделно, вж. линейни уравнения с неизвестно в знаменателя. Разгледай примери за различни линейни уравнения:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Както виждаш, линейното уравнение може да изглежда най-различно. За да се решават лесно, първо трябва да ги приведем в един вид, който наричаме стандартен вид:

$$ax+b=0,$$

където x е неизвестното, а символите a и b са произволни реални числа, които наричаме коефициенти на уравнението. При това числото a не бива да е нула, т.е. a ≠ 0. Израза ax наричаме линеен член, а израза b – свободен член.

При решаването на линейно уравнение не можем без еквивалентни преобразувания, т.е. такива преобразувания, които не променят решението на уравнението. Без тях по-сложно уравнение не може да се реши. Можем да приведем уравнението в стандартен вид или като преобразуваме самите изрази, които се срещат в уравнението, или именно с еквивалентни преобразувания на уравнения.

Нека се върнем към примерите по-горе. Първото уравнение, 2x + 7 = 0, вече е в стандартен вид, така че веднага виждаме коефициентите a = 2 и b = 7. При второто уравнение, x − 2 = 74, не е толкова лесно. С еквивалентно преобразувание прибавяме към двете страни числото −74 (или иначе казано, изваждаме от двете страни числото 74) и получаваме x − 76 = 0. Това вече е стандартен вид с коефициенти a = 1 и b = −76.

Третото уравнение е още далеч от стандартния вид, но и с него ще се справим. Първо „правим“ нула от дясната страна: прибавяме към двете страни израза 12x. Така дясната страна се нулира, защото (−12x) + 12x = 0. Цялото уравнение ще изглежда така:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Сега остава само да премахнем скобите и да съберем членовете с x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Това линейно уравнение е в стандартен вид и коефициентите му са a = −8 и b = 3.

В последното уравнение трябва да се освободим от дробите. Затова умножаваме цялото уравнение по числото 72, което се дели на всички знаменатели:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Сега съкращаваме дробите:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Отляво събираме, отдясно умножаваме:

$$39x=405x+72$$

Остава последната стъпка: изваждаме от двете страни 405x и 72 и уравнението е в стандартен вид:

$$-366x-72=0$$

Значи получихме коефициенти a = −366 и b = −72.

Как се решава линейно уравнение

Ако имаме линейното уравнение в стандартен вид, то се решава лесно. Да го покажем на пример: 3x − 18 = 0. От какво трябва да извадим числото 18, за да получим нула? Ами от числото 18. Значи за да е равен изразът 3x − 18 на нула, изразът 3x трябва да е равен на 18, тогава получаваме 18 − 18 = 0. Кога изразът 3x ще е равен на 18? Точно когато x = 6, защото 3 · 6 = 18.

Как от това да изведем общ начин на решаване? Първо трябва да разберем на какво трябва да е равен линейният член ax. Това правим, като преместим свободния член в дясната страна на уравнението, т.е. прибавим към уравнението −b. Така получаваме уравнение във вида ax + b − b = −b, което е същото като ax = −b. В случая на предишния пример бихме получили 3x − 18 + 18 = 18, т.е. 3x = 18. Не забравяй, че числото b беше равно на b = −18, така че когато прибавяме −b, прибавяме −(−18) и това е равно на +18.

Уравнението е във вида ax = −b. По какъв начин получаваме направо x? В примера търсихме такова x, което, като го умножим по три, дава 18. Какво всъщност правехме? Разделихме 18/3 = 6. Т.е. взехме израза от дясната страна (−b) и го разделихме на стойността a, в примера на тройката. Значи от ax = −b получаваме

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Целият ред на решаване, приложен към първия пример, изглежда така:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Геометричен смисъл

Ако приведем линейното уравнение в стандартен вид, отляво получаваме линейна функция. Графиката на линейната функция е права. Тъй като стандартният вид на линейното уравнение изглежда така ax + b = 0, решения на това уравнение са всички точки, в които правата (графиката на линейната функция) пресича оста x (която е същевременно графика на функцията f(x) = 0, т.е. дясната страна).

Например установихме, че решение на уравнението 3x − 18 = 0 е x = 6. Какво означава това? Че графиката на функцията 3x − 18 пресича оста x в точката x = 6.

Нека опитаме да решим графично уравнението 5x + 2 = 2x − 7. Как можем да постъпим? Можем да приведем уравнението в стандартен вид, т.е. прибавяме −2x и получаваме 3x + 2 = −7, а след това прибавяме 7: 3x + 9 = 0. Сега чертаем графиката на линейната функция y = 3x + 9 и установяваме кога пресича оста x.

Вторият начин е изобщо да не преобразуваме уравнението, а да начертаем графиките на функциите от двете страни на уравнението. Т.е. чертаем графиките на функциите f(x) = 5x + 2 и g(x) = 2x − 7.

Тези две прави се пресякоха в една точка, означена като A. Каква е x-координатата на тази точка A? Отново x = −3. Следователно графичното решение на уравнението 5x + 2 = 2x − 7 е x-координатата на пресечната точка на графиките на функциите от лявата и дясната страна.

Решени задачи

Първи пример: Ще опитаме да решим уравнението 7x − 14 = 0. Положението е просто, уравнението е в стандартен вид, така че само прилагаме метода:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Втори пример: Реши уравнението 2x + 10 = 0. Уравнението отново е в стандартен вид, само внимавай, че b е положително и затова след преобразуването отдясно ще получиш отрицателно число:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Трети пример: Реши уравнението 15 − 3x = 0. Уравнението е почти в стандартен вид, трябва само да поставим неизвестното x на първо място. Тогава уравнението е във вида −3x + 15 = 0. Отново внимавай: тук имаме минус пред линейния член, какъвто досега нямахме. Преобразуванията обаче ще са съвсем същите:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Задачата можем да решим и малко по-различно, по по-дълъг начин. Вместо направо да разделим уравнението на −3, можем първо да го умножим по −1, с което се освобождаваме от двата минуса. И после вече можем да разделим уравнението на три:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Четвърти пример: Реши линейното уравнение

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Това уравнение вече е малко по-сложно, защото има дроби. Първо трябва да се освободим от тези дроби. Най-добре е да умножим цялото уравнение по най-малкото общо кратно на всички знаменатели. Имаме два знаменателя 4 и 2. Най-малкото общо кратно е 4. Ако не ти се смята, можеш да умножиш цялото уравнение по произведението на всички знаменатели, т.е. 4 · 2 = 8, но това не е препоръчителен начин, защото си усложняваш живота една стъпка по-нататък. Ако умножим уравнението по четири, освобождаваме се от дробите, като последователно ги съкращаваме, опростяваме:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Сега привеждаме уравнението в стандартен вид: x − 12 = 0 и от това уравнение вече виждаме, че x = 12.

Пети пример / текстова задача: Нека имаме двама братя, Георги и Иван. Иван започва работа веднага след гимназията, а Георги отива да учи в университет, където учи общо пет години. Иван получава всеки месец заплата 1000 €. Макар че Георги завършва специалност рекреология със специализация „излежаване на шезлонг“, успява да си намери работа в държавната администрация, където получава 1500 € на месец. След колко време общо Георги ще изкара същата сума пари като Иван? Т.е. за уточнение: за пет години Иван е изкарал 5 · 12 · 1000 евро, докато Георги след петте години няма нищо. След колко месеца тази стойност ще е еднаква?

От условието можем да съставим линейно уравнение така: променливата x ще представлява търсения брой месеци, като x = 0 означава нула месеца от завършването на Георги.

Първо съставяме функция, която ще определя доходите на Георги в зависимост от броя на месеците. Значи ако например ни интересуват доходите на Георги след шест месеца, просто пресмятаме, че 1500 · 6 = 9000 евро. В общия случай можем да напишем, че след x месеца Георги е изкарал общо 1500 · x евро.

При Иван ще е подобно: 1000 · x, но трябва да прибавим още сумата, която е изкарал, докато Георги е учил. Георги е учил пет години, така че Иван през времето на следването е изкарал 5 · 12 · 1000 евро. Целият израз за Иван ще бъде: 5 · 12 · 1000 + 1000 · x.

Тези функции поставяме в уравнение, защото ни интересува за кои x тези доходи са равни:

$$5\cdot 12\cdot 1000+1000\cdot x=1500\cdot x$$

Уравнението просто преобразуваме, като прехвърлим всички x в едната страна на уравнението:

$$500x=5\cdot 12\cdot 1000$$

И накрая само разделяме на 500:

$$x=5\cdot 12\cdot 2=120$$

След 120 месеца и двамата ще имат равни пари. Иван през времето на следването на Георги е изкарал цели 5 · 12 · 1000 = 60000 евро, плюс за още 120 месеца е изкарал 1000 · 120 = 120000, което е общо 60000 + 120000 = 180000 евро. Георги е работил само тези 120 месеца и за това време е изкарал 1500 · 120 = 180000 евро. Виждаме, че след пет години следване и още 120 месеца двамата наистина са изкарали поравно.

Още примери

Пресметни следното линейно уравнение:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Първо разкриваме скобата:

$$2x-14=6$$

Сега отляво оставяме израза с неизвестното, а в дясната страна прехвърляме всичко останало:

$$2x=20$$

… и накрая разделяме на две.

$$x=10$$

Реши уравнението

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Отново първо разкриваме скобите:

$$9-3x+5x-10=0$$

Събираме, каквото може да се събере, и прехвърляме променливите в лявата страна, а останалото – в дясната:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Накрая разделяме цялото уравнение на две:

$$x=\frac{1}{2}$$