Associativitet

Associativitet er en egenskab ved operationer som for eksempel addition eller multiplikation. Se lige på de følgende to skrivemåder for addition:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Udtrykkene adskiller sig kun ved, hvor parentesen står. Men adskiller resultaterne sig? Begge udtryk giver det samme resultat, summen er altid lig med 6. Hvis placeringen af parenteserne ikke har indflydelse på resultatet, siger vi, at operationen er associativ. Mere præcist kan vi skrive, at operationen a ∘ b er associativ, hvis der gælder

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

En anden operation, der er associativ, er multiplikation, for der gælder

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operationer, der ikke er associative

Subtraktion er ikke associativ. Som eksempel kan vi tage udtrykket (10 − 4) − 3. Først beregner vi differensen i parentesen og får 6 − 3, som er lig med 3. Men hvis vi prøver at beregne 10 − (4 − 3), beregner vi igen først indholdet af parentesen og får 10 − 1, og det er 9. Operationen subtraktion er altså ikke associativ.

På samme måde er operationen division ikke associativ. Som eksempel tager vi udtrykket (64 / 4) / 2. Først beregner vi parentesen og får 16/2, som er 8. Men hvis vi sætter parentesen et andet sted, får vi 64 / (4 / 2), og efter beregningen af parentesen har vi 64 / 2, som er 32. Operationen division er altså ikke associativ.

En anden typisk operation, der ikke er associativ, er potensopløftning:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Associativitet gælder kun én operation!

Vær opmærksom på, at associativitet altid gælder én operation. Hvis vi havde et udtryk med tre tal, men ikke den samme operation, kan vi ikke bruge den associative regel. Som eksempel:

$$(1+2)\cdot 3$$

udtrykket indeholder to operationer — addition og multiplikation. Begge operationer er hver for sig associative, men alligevel kan vi i dette tilfælde ikke bruge den associative regel, vi kan ikke omskrive det til

$$1+(2\cdot 3)$$

fordi udtrykket indeholder to forskellige operationer. For at vi kunne bruge den associative regel, skulle begge operationer være addition eller begge operationer være multiplikation.

Fællesmængde og foreningsmængde

Fællesmængden er associativ. Som eksempel:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

ville vi først omskrive ved at beregne fællesmængden af mængderne i parentesen til

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Og fællesmængden af disse mængder er lig med {1}. Hvis vi byttede om på parenteserne, ville vi få

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

og efter omskrivning af parentesen:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Og igen ville vi få {1}. Vi ser, at placeringen af parenteserne er ligegyldig, og derfor er fællesmængden associativ. På samme måde ville foreningsmængden være associativ.

Sammensætning af ord / konkatenering

Forestil dig, at vi havde en operation addition for ordstykker, og at den simpelthen betød at sætte ord sammen. Altså »com« + »puter« ville være lig med ordet »computer«. En sådan operation ville være associativ. Som eksempel, hvis vi skrev (»glø« + »de«) + »pære«, ville vi først ved at lægge sammen i parentesen få »gløde« + »pære«, og det ville give os ordet »glødepære«. Hvis vi byttede om på parenteserne »glø« + (»de« + »pære«), ville vi efter at have lagt sammen i parentesen få »glø« + »depære«, og det ville igen give os ordet »glødepære«.

Maksimum eller minimum er associativ

Forestil dig operationen a ∨ b, som giver os det største af to tal. En sådan operation ville være associativ. Som eksempel ville vi omskrive (5 ∨ 10) ∨ 7 til 10 ∨ 7, og det ville være lig med 10. Ti er det største af de tre tal. Hvis vi flyttede rundt på parenteserne, ville vi få 5 ∨ (10 ∨ 7), efter omskrivning 5 ∨ 10, og det er igen 10.

Minimum ville opføre sig helt på samme måde.