Gleichungssysteme

In der Praxis stoßen wir oft auf den Fall, dass wir nicht eine Gleichung rechnen, sondern gleich zwei Gleichungen zugleich (oder noch mehr). Zuerst zeigen wir, wie sich ein solches Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren lösen lässt. Für das Lösen von Gleichungssystemen mithilfe von Matrizen geh zum Artikel lineare Gleichungssysteme.

Grundlagen

Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen, die wir gemeinsam lösen. In einem Gleichungssystem haben wir normalerweise auch mehr als eine Variable und versuchen, eine solche Kombination von Zahlen zu finden, dass alle Gleichungen erfüllt sind, wenn wir sie für alle Variablen einsetzen.

Ein Beispiel für ein Gleichungssystem ist dieses System:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Das Ergebnis dieses Systems soll ein Paar (oder eine Menge von Paaren) von Zahlen sein, die wir für die Variablen a und b einsetzen, sodass beide Gleichungen erfüllt bleiben. So über den Daumen gepeilt sehen wir, dass die Variable a gleich −b sein muss, damit die Gleichung a + b = 0 erfüllt ist. Mit diesem Wissen sehen wir aus der zweiten Gleichung leicht, dass a = 10 und b = −10 ist. Nach dem Einsetzen erhalten wir:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

So, die Lösung nach Augenmaß haben wir hinter uns, jetzt gehen wir ein paar funktionierende Algorithmen zum Lösen von Gleichungssystemen an.

Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren drücken wir eine der Unbekannten in einer Gleichung aus und setzen dieses Ergebnis dann in die andere Gleichung ein. Zu Beginn brauchen wir also ein Gleichungssystem. Zum Beispiel dieses:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Das ist ein einfaches System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Unsere Aufgabe ist es, die Variablen x und y so zu bestimmen, dass beide Gleichungen erfüllt sind. Die erste Gleichung lösen wir nach y auf. Wir nehmen uns also nur die erste Gleichung vor und lösen sie nach y auf.

$4 x + 2 y = 6$

Zuerst subtrahieren wir 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Wir dividieren durch zwei:

$y = 3 - 2 x$

Jetzt wissen wir, was y ist. Dieses Ergebnis können wir für die Variable y in der zweiten Gleichung einsetzen. In der zweiten Gleichung schreiben wir also anstelle von y den Term 3 − 2x. Was erreichen wir damit? Wir erreichen, dass wir in der zweiten Gleichung nicht mehr zwei Variablen haben, sondern nur noch eine, denn anstelle der Variablen y setzen wir einen Term ein, der nur die Variable x enthält. Wir setzen also ein:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Jetzt multiplizieren wir die Klammer aus und fassen zusammen, was sich zusammenfassen lässt:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Jetzt kennen wir den Wert von x, er ist gleich zwei. Jetzt müssen wir noch den Wert von y berechnen. Das machen wir, indem wir den schon bekannten Wert von x in irgendeine Gleichung einsetzen, die beide Variablen enthält – x und y. Wir können zum Beispiel die allererste Gleichung wählen. Wir setzen ein:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Damit haben wir das Gleichungssystem gelöst. Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, nämlich x = 2 und y = −1. Willst du dieses Ergebnis überprüfen, setze es einfach in beide Gleichungen ein. Einsetzen in die erste Gleichung:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Und Einsetzen in die zweite Gleichung:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Additionsverfahren

Dieses Verfahren mag ich lieber, aber natürlich kommt es auf das konkrete Beispiel an. Nicht immer passt es. Das Prinzip des Additionsverfahrens ist, dass das Addieren von Gleichungen beim Lösen von Gleichungssystemen eine Äquivalenzumformung ist. Gleichungen addieren wir, indem wir die linke Seite der einen Gleichung zur linken Seite der anderen Gleichung addieren und dann die rechten Seiten der Gleichungen addieren. Nehmen wir allgemein ein solches Gleichungssystem:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Die Summe dieser Gleichungen wäre eine einzige Gleichung, die so definiert ist:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Wir haben die linken Seiten für sich und die rechten Seiten für sich addiert. Was ist aber unser Ziel? Wenn wir zwei Gleichungen addieren und uns zwei Variablen bleiben, hilft uns das nicht viel. Deshalb versuchen wir zu erreichen, dass nach dem Addieren beider Gleichungen eine Variable verschwindet, d. h., dass sie sich gegenseitig aufheben. Wir versuchen also zu erreichen, dass die Summe eines der Funktionspaare, entweder f oder g, null ist:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Wie erreichen wir das? Ein Gleichungssystem enthält gewöhnliche Gleichungen, auf die wir Äquivalenzumformungen von Gleichungen anwenden können, so wie wir sie von den gewöhnlichen Gleichungstypen kennen. Deshalb können wir eine der Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren, und die Gültigkeit der Gleichung ändert sich nicht. Versuchen wir also, das vorige Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren zu lösen. Die Aufgabe ist also dieselbe:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Würden wir die Gleichungen sofort addieren, blieben uns beide Variablen:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Deshalb müssen wir zuerst einige Umformungen vornehmen. Wir wollen die Variable y „verschwinden“ lassen. Dazu muss der Koeffizient vor y in beiden Gleichungen gleich sein, bis auf das Vorzeichen – das muss entgegengesetzt sein. Wir suchen also das kleinste gemeinsame Vielfache, das ist 6. Ein einfaches Vorgehen ist, die Koeffizienten zu multiplizieren: zwei mal drei ist sechs – die Zahl sechs ist also sicher durch beide Zahlen teilbar (Anmerkung: Dieses Vorgehen liefert nicht das kleinste gemeinsame Vielfache, aber es findet eine Zahl, die durch beide Koeffizienten teilbar ist).

Jetzt wollen wir vor y in jeder Gleichung eine Sechs bekommen. Die erste Gleichung multiplizieren wir also mit drei, die zweite mit zwei:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Wir erhalten:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Jetzt addieren wir die Gleichungen:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Wir haben also eine Gleichung mit einer Unbekannten erhalten, die wir schon leicht lösen können:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Wir sehen, dass sich dasselbe Ergebnis ergeben hat wie beim vorigen Einsetzungsverfahren. Jetzt würden wir wieder x in irgendeine Gleichung einsetzen und erhielten das Ergebnis y = −1. Auch die Probe würde ganz genauso ablaufen.

Anzahl der Lösungen

Ein Gleichungssystem muss nicht nur genau eine Lösung haben. Es kann auch unendlich viele Lösungen haben oder umgekehrt gar keine. Nur kurz dazu, wann das eintritt. Haben wir zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und können wir eine dieser Gleichungen durch die andere ausdrücken, indem wir auf sie Äquivalenzumformungen anwenden, dann hat das System unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel ist das System

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Wir sehen, dass wir genau die zweite Gleichung erhalten, wenn wir die erste Gleichung mit zwei multiplizieren. Die zweite Gleichung liefert uns also keine „neue Information“ über das System und ist praktisch überflüssig. Insgesamt zeigt sich das darin, dass jede Lösung der Gleichung

$x + y = 2$

zugleich eine Lösung des ganzen Systems ist. Zum Beispiel sind die Paare (1, 1) oder (−3, 5) Lösungen der ersten Gleichung und zugleich des ganzen Systems.

Das System hat dann gar keine Lösung, wenn wir im System widersprüchliche Gleichungen haben, die nicht zugleich gelten können. Zum Beispiel:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Es kann nicht zugleich gelten, dass die Summe x + y gleich zwei und gleich vier ist, deshalb hat das System keine Lösung. Noch ein paar Beispiele:

Erstes Beispiel

Löse das folgende System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Auf den ersten Blick sehen wir, dass das ein Kandidat für das Additionsverfahren ist. Der Koeffizient bei x ist in der zweiten Gleichung doppelt so groß wie in der ersten Gleichung, und der Koeffizient bei y ist in der zweiten Gleichung dreimal so groß. Es genügt also, die erste Gleichung entweder mit minus zwei oder mit minus drei zu multiplizieren und die Gleichungen zu addieren. Wir versuchen, zum Beispiel die Variable x zu eliminieren, also multiplizieren wir die erste Gleichung mit −2. Wir erhalten:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Wir addieren diese beiden Gleichungen und erhalten

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Wir haben das erste Ergebnis unseres Systems. Dieses Ergebnis setzen wir in irgendeine Gleichung ein, wir können es wieder in die allererste Gleichung einsetzen:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Damit haben wir das Ergebnis des Gleichungssystems, x = 9 und y = −14.

Zweites Beispiel

Löse das folgende System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Das sieht ein bisschen wild aus, aber es geht. Zuallererst müssen wir die Klammern ausmultiplizieren, ohne das kommen wir nicht weit.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Jetzt formen wir die Gleichungen in eine brauchbarere Form um: Die Variablen bringen wir auf die linke Seite der Gleichung und die absoluten Glieder auf die rechte, außerdem fassen wir zusammen, was sich zusammenfassen lässt.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Jetzt haben wir aus den unschön aussehenden Gleichungen ein ziemlich brauchbares Gleichungssystem erhalten und können eines der klassischen Verfahren anwenden. Wir können zum Beispiel die zweite Gleichung mit zwei multiplizieren und zur ersten Gleichung addieren. Nach dem Multiplizieren der zweiten Gleichung mit zwei erhalten wir:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Jetzt addieren wir beide Gleichungen mit dem klassischen Additionsverfahren:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Sehr gut, ein Ergebnis kennen wir schon. Dieses Ergebnis setzen wir in eine der Gleichungen ein und berechnen y. Wir können zum Beispiel in die Gleichung 2x− 3y = −13 einsetzen und erhalten:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Jetzt haben wir das vollständige Ergebnis des Gleichungssystems – seine Lösung ist x = 4 und y = 7.

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