Reelle Zahlen
Reelle Zahlen sind alle Zahlen, die wir mithilfe einer endlichen oder unendlichen Dezimaldarstellung schreiben können. Wir können sagen, dass wir die reellen Zahlen durch die Vereinigung der Menge der rationalen und der irrationalen Zahlen erhalten.
Schreibweise und Bedeutung
Die reellen Zahlen bezeichnen wir mit dem Buchstaben R, meist mit doppeltem senkrechtem Strich: ℝ.
Wenn du dir eine unendliche Zahlengerade vorstellst, dann stellen die reellen Zahlen alle möglichen Abstände zwischen zwei Punkten dar, die wir auf der Geraden finden können.
Die reellen Zahlen enthalten alle natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen.
Die meisten Funktionen, mit denen man in der Mathematik üblicherweise arbeitet, haben als Definitionsmenge meist genau die Menge der reellen Zahlen (zum Beispiel Sinus und Kosinus, lineare Funktionen) oder eine zusammenhängende Teilmenge davon (zum Beispiel der Logarithmus).
Beispiele für reelle Zahlen: 1, −3, 0,126, −42,47, e, 0, −2π.
Eigenschaften
- Die reellen Zahlen sind eine unendliche überabzählbare Menge.
- Die reellen Zahlen sind abgeschlossen unter Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Wenn wir zwei reelle Zahlen nehmen und multiplizieren, erhalten wir wieder eine reelle Zahl.
- Eine reelle Zahl ist entweder algebraisch, d. h. sie ist Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten, oder transzendent, d. h. sie ist keine Nullstelle eines solchen Polynoms.
- Zu jeder reellen Zahl gibt es ihren Betrag, der den Abstand vom Ursprung der Zahlengeraden darstellt.
- Jede nichtnegative reelle Zahl hat eine Quadratwurzel, die ebenfalls eine reelle Zahl ist. Umgekehrt hat keine negative reelle Zahl eine reelle Zahl als Quadratwurzel.
