Distributivgesetz

Die Distributivität ist eine Eigenschaft von zwei zweistelligen Verknüpfungen, wie zum Beispiel Addition und Multiplikation. Die Distributivität sagt uns im Fall von Multiplikation und Addition, dass wir „die Klammer ausmultiplizieren“ können. Haben wir zum Beispiel den Term

$$2\cdot (3+4)$$

dann wissen wir, dass wir die Klammer ausmultiplizieren können, wodurch wir einen anderen Term erhalten:

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Beide Terme führen dabei auf dasselbe Ergebnis, nämlich auf die Zahl 14. Dieses Ausmultiplizieren konnten wir durchführen, weil die Multiplikation auf der Menge der reellen Zahlen distributiv bezüglich der Addition ist. Allgemein gilt: Haben wir zwei Operationen · und +, dann sagen wir, dass die Operation · auf der Menge M distributiv bezüglich der Operation + ist, wenn gilt

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

für alle a, b, c ∈ M. Ein weiteres Beispiel für distributive Operationen sind die Operationen der Aussagenlogik, die Konjunktion ∧ und die Disjunktion ∨. Stellen wir uns vor, wir haben die Aussagen A, B und C. Wenn wir sagen „A und zugleich (B oder C)“, schreiben wir das als

$$A\wedge (B\vee C)$$

Und weil die Konjunktion distributiv bezüglich der Disjunktion ist, gilt zugleich

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Also in Worten: „(A und zugleich B) oder (A und zugleich C)“. Damit wir auch ein Beispiel für Operationen haben, die nicht distributiv sind, nehmen wir zum Beispiel Addition und Subtraktion:

$$10-(5+3)$$

Das richtige Ergebnis ist natürlich 2, denn nach der Addition in der Klammer erhalten wir 10 − 8, das ist 2. Wenn wir auf diese Rechnung die Regel der Distributivität anwenden würden, erhielten wir den Term:

$$(10-5)+(10-3)$$

Nach der Addition in den Klammern hätten wir 5 + 7, das ist 12. Wir sehen, dass wir ein falsches Ergebnis erhalten haben, Addition und Subtraktion sind also nicht distributiv.

Weitere Beispiele: Einige Operationen mit Matrizen erfüllen das Distributivgesetz. Vektoren in einem Vektorraum ebenfalls. Die Verknüpfungen in einem Körper müssen distributiv sein.