Ausklammern

Bevor wir uns dem Ausklammern widmen, besprechen wir das Ausmultiplizieren von Klammern, denn es hängt mit dem Ausklammern eng zusammen. Man könnte sogar sagen, dass das Ausklammern die genau umgekehrte Operation zum Ausmultiplizieren von Klammern ist.

Ausmultiplizieren einer Klammer

Das Ausmultiplizieren einer Klammer ist eine einfache Operation, die wir an einem Beispiel zeigen: Berechnen wir den Term 3 · (5 + 8). Wir haben zwei Möglichkeiten vorzugehen. Wir können den Term in der Klammer addieren und erhalten 3 · 13, weil 5 + 8 = 13.

Die zweite Möglichkeit ist, dass wir die Klammer ausmultiplizieren. Das bedeutet, dass wir die Zahl vor der Klammer, die Drei, nehmen und beide Zahlen in der Klammer mit ihr multiplizieren. Das Pluszeichen in der Klammer bleibt erhalten. So erhalten wir:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Beide Vorgehensweisen führen zum selben Ergebnis: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Warum das Ausmultiplizieren einer Klammer funktioniert

Warum dürfen wir so vorgehen, warum funktioniert das Ausmultiplizieren? Stellen wir uns ein Produkt als ausgeschriebene Summe vor. Wenn wir zum Beispiel 3 · 7 schreiben, sagen wir damit, dass wir die Zahl sieben dreimal addieren wollen, d. h. 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Genauso können wir aber auch das Beispiel mit der Klammer ausschreiben: 3 · (5 + 8) ist dasselbe wie (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Weil es bei der Addition nicht auf die Reihenfolge ankommt, können wir die Klammern weglassen und die Fünfen und Achten nebeneinander schreiben: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Und hier sehen wir schon, dass wir diesen Term mithilfe der Multiplikation so umschreiben können: 3 · 5 + 3 · 8, und das ist genau das, was wir beim Ausmultiplizieren gemacht haben.

Beispiele zum Ausmultiplizieren

1. Multipliziere 5 · (4 + 7) aus. Wieder multiplizieren wir einfach die Zahlen in der Klammer mit der Fünf und erhalten 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Multipliziere 6 · (x + 4) aus. Lass dich von der Unbekannten nicht erschrecken und multipliziere sie einfach auch mit der Sechs. Wir erhalten: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Multipliziere x · (4 + 173) aus. Jetzt steht die Unbekannte vor der Klammer, also multiplizieren wir beide Zahlen in der Klammer mit x. Wir erhalten x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Multipliziere aus: 4x · (2x + 7). Jetzt steht die Unbekannte vor der Klammer und auch in ihr, außerdem steht vor der Klammer ein komplizierterer Term. Das macht wieder nichts, den Inhalt der Klammer multiplizieren wir mit 4x so: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Einfaches Ausklammern

Das Ausklammern ist das umgekehrte Verfahren zum Ausmultiplizieren einer Klammer. Am Anfang haben wir zum Beispiel den Term 10x + 5. Wenn wir jetzt eine Zahl finden, durch die sich beide Summanden sinnvoll teilen lassen, können wir diese Zahl, wie man sagt, ausklammern. In unserem Term ist das die Zahl 5, denn 10x / 5 = 2x und 5 / 5 = 1. Wir können also schreiben, dass

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Wenn wir die Klammer 5 · (2x + 1) umgekehrt ausmultiplizieren, erhalten wir wieder 10x + 5. Das Ziel des Ausklammerns ist gewöhnlich, den gegebenen Term zu vereinfachen oder in die Form eines Produkts zu bringen, damit wir ihn im Bruch kürzen können.

Ausklammern der Unbekannten

Oft wird die Unbekannte selbst ausgeklammert, wir müssen nicht nur eine Zahl ausklammern. Wenn wir also den Term 3x² + 7x haben, können wir daraus x ausklammern, d. h. wir teilen beide Terme durch x, setzen Klammern und multiplizieren die Klammer mit x. Wir erhalten 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Meistens versuchen wir, „möglichst viel“ auszuklammern. Haben wir den Term 8x² + 12x, können wir nur x ausklammern und erhalten 8x² + 12x = x · (8x + 12), aber wir sehen, dass wir aus der Klammer noch die Zahl 4 ausklammern könnten. Das können wir jetzt nachträglich tun und erhalten: x · (4 · (2x + 3)). Die äußeren Klammern können wir weglassen und erhalten: 4x · (2x + 3).

Zum selben Ergebnis würden wir aber auch kommen, wenn wir aus dem ursprünglichen Term 8x² + 12x gleich den Term 4x ausklammern würden. Schreiben wir es aus, erhalten wir

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Ausklammern komplizierterer Terme

Bisher haben wir nur aus Termen ausgeklammert, die zwei Summanden enthalten. Wir können aber auch aus längeren Termen ausklammern. Zum Beispiel können wir aus 7x³ + 5x² + 2x den Faktor x ausklammern und erhalten x · (7x² + 5x + 2).

Wir müssen auch nicht immer nur eine schöne Zahl ausklammern, wir können alles ausklammern. Zum Beispiel können wir aus dem Term 6x + 7 die Zahl 2 ausklammern, erhalten aber ein unschönes Ergebnis, weil wir beide Summanden durch zwei teilen müssen. Bei 6x geht es problemlos, denn 6x / 2 = 3x, aber bei der Zahl 7 geht es nicht mehr so schön auf: 7 / 2 = 3,5. Wir erhalten den Term: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Gelöste Beispiele

• Klammere 25x + 45 möglichst schön aus. Auf den ersten Blick sieht man, dass wir die Zahl 5 ausklammern können, also erhalten wir 5 · (5x + 9).

• Vereinfache den Bruch

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Zuerst klammern wir im Zähler des Bruchs x aus. Wir erhalten im Zähler x · (3x + 7). Jetzt können wir im ganzen Bruch x kürzen.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Klammere −2x² − 8x möglichst schön aus. Hier haben wir zum ersten Mal negative Zahlen. Das macht überhaupt nichts, genauso wie wir positive Zahlen ausgeklammert haben, können wir auch negative ausklammern. Wir können gleich −2x auf einmal ausklammern. Wir erhalten

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$