Lineare Gleichungen

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die sich auf die Form ax + b = 0 mit a ≠ 0 bringen lässt. Ein konkretes Beispiel wäre etwa 2x + 4 = 0. Die Lösung dieser Gleichung ist die Zahl −2, was sich ziemlich logisch herleiten lässt. Sind die Zahlen etwas größer, ist diese Herleitung nicht mehr so einfach, also brauchen wir ein konkreteres Vorgehen.

Allgemeine Form der linearen Gleichung

Genauer gesagt handelt es sich um eine Gleichung mit einer Unbekannten x, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form ax + b = 0 mit a ≠ 0 bringen lässt. Die Unbekannte wird dabei weder potenziert noch radiziert o. Ä. Gleichungen mit der Unbekannten im Nenner eines Bruchs lassen sich nur unter der Bedingung auf diese Form bringen, dass der Nenner nicht null ist. Deshalb lösen wir sie gesondert, siehe lineare Gleichungen mit der Unbekannten im Nenner. Schau dir Beispiele verschiedener linearer Gleichungen an:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Wie du siehst, können lineare Gleichungen ganz unterschiedlich aussehen. Damit wir sie gut lösen können, müssen wir sie zuerst auf eine einheitliche Form bringen, die wir allgemeine Form nennen:

$$ax+b=0,$$

wobei x die Unbekannte ist und a und b beliebige reelle Zahlen sind, die wir Koeffizienten der Gleichung nennen. Dabei darf die Zahl a nicht null sein, d. h. a ≠ 0. Den Term ax nennen wir lineares Glied, den Term b nennen wir absolutes Glied.

Beim Lösen einer linearen Gleichung kommen wir ohne Äquivalenzumformungen nicht aus, also ohne Umformungen, die die Lösung der Gleichung nicht verändern. Ohne sie lässt sich keine kompliziertere Gleichung lösen. Die Gleichung können wir entweder durch Umformen der einzelnen Terme, die in ihr vorkommen, auf die allgemeine Form bringen oder eben durch Äquivalenzumformungen von Gleichungen.

Kehren wir zu den Beispielen oben zurück. Die erste Gleichung, 2x + 7 = 0, hat die allgemeine Form schon, wir sehen also gleich die Koeffizienten a = 2 und b = 7. Bei der zweiten Gleichung, x − 2 = 74, ist es nicht so einfach. Mit einer Äquivalenzumformung addieren wir auf beiden Seiten die Zahl −74 (subtrahieren also auf beiden Seiten die Zahl 74) und erhalten x − 76 = 0. Das ist nun die allgemeine Form, mit den Koeffizienten a = 1 und b = −76.

Die dritte Gleichung ist von der allgemeinen Form noch weit entfernt, aber auch mit ihr werden wir fertig. Zuerst „erzeugen“ wir auf der rechten Seite eine Null: Wir addieren auf beiden Seiten den Term 12x. Die rechte Seite wird dadurch null, denn (−12x) + 12x = 0. Die ganze Gleichung sieht dann so aus:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Jetzt müssen wir nur noch die Klammern auflösen und die Terme mit x zusammenfassen.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Diese lineare Gleichung ist in der allgemeinen Form und ihre Koeffizienten sind a = −8 und b = 3.

In der letzten Gleichung müssen wir die Brüche beseitigen. Deshalb multiplizieren wir die ganze Gleichung mit der Zahl 72, die durch alle Nenner teilbar ist:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Die Brüche kürzen wir jetzt:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Auf der linken Seite fassen wir zusammen, auf der rechten multiplizieren wir:

$$39x=405x+72$$

Bleibt der letzte Schritt: Wir subtrahieren auf beiden Seiten 405x und 72, und die Gleichung ist in der allgemeinen Form:

$$-366x-72=0$$

Wir haben also die Koeffizienten a = −366 und b = −72.

Wie man eine lineare Gleichung löst

Haben wir die lineare Gleichung in der allgemeinen Form, lässt sie sich leicht lösen. Zeigen wir es an einem Beispiel: 3x − 18 = 0. Wovon müssen wir die Zahl 18 subtrahieren, um null zu erhalten? Na, wieder von der Zahl 18. Damit also der Term 3x − 18 gleich null ist, muss der Term 3x gleich 18 sein, dann erhalten wir 18 − 18 = 0. Wann ist der Term 3x gleich 18? Genau dann, wenn x = 6 gilt, denn 3 · 6 = 18.

Wie leiten wir daraus das allgemeine Vorgehen ab? Zuerst müssen wir herausfinden, wie groß das lineare Glied ax sein soll. Das finden wir heraus, indem wir das absolute Glied auf die rechte Seite der Gleichung bringen, d. h. wir addieren −b zur Gleichung. So erhalten wir die Gleichung in der Form ax + b − b = −b, was dasselbe ist wie ax = −b. Im Fall des vorigen Beispiels hätten wir also 3x − 18 + 18 = 18, also 3x = 18. Vergiss nicht, dass die Zahl b gleich b = −18 war; wenn wir also −b addieren, addieren wir −(−18) und das ist gleich +18.

Die Gleichung haben wir in der Form ax = −b. Wie erhalten wir direkt x? Im Beispiel haben wir dasjenige x gesucht, das wir mit drei multiplizieren müssen, um 18 zu erhalten. Was haben wir in Wirklichkeit getan? Wir haben dividiert: 18/3 = 6. Wir haben also den Term auf der rechten Seite (−b) genommen und durch den Wert a dividiert, im Beispiel durch die Drei. Aus ax = −b erhalten wir also

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Das ganze Vorgehen, angewendet auf das erste Beispiel, sieht so aus:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Geometrische Deutung

Bringen wir die lineare Gleichung auf die allgemeine Form, erhalten wir auf der linken Seite eine lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Da die allgemeine Form der linearen Gleichung ax + b = 0 lautet, sind die Lösungen dieser Gleichung alle Punkte, in denen die Gerade (der Graph der linearen Funktion) die x-Achse schneidet (die zugleich der Graph der Funktion f(x) = 0, also der rechten Seite, ist).

Zum Beispiel haben wir herausgefunden, dass x = 6 die Lösung der Gleichung 3x − 18 = 0 ist. Was bedeutet das? Dass der Graph der Funktion 3x − 18 die x-Achse im Punkt x = 6 schneidet.

Versuchen wir, die Gleichung 5x + 2 = 2x − 7 grafisch zu lösen. Wie können wir vorgehen? Wir können die Gleichung auf die allgemeine Form bringen, d. h. wir addieren −2x und erhalten 3x + 2 = −7, und anschließend addieren wir 7: 3x + 9 = 0. Nun zeichnen wir den Graphen der linearen Funktion y = 3x + 9 und sehen nach, wo er die x-Achse schneidet.

Die zweite Möglichkeit ist, die Gleichung gar nicht umzuformen, sondern die Graphen der Funktionen auf beiden Seiten der Gleichung zeichnen zu lassen. Wir zeichnen also die Graphen der Funktionen f(x) = 5x + 2 und g(x) = 2x − 7.

Diese beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt, der als A bezeichnet ist. Welche x-Koordinate hat dieser Punkt A? Wieder x = −3. Die grafische Lösung der Gleichung 5x + 2 = 2x − 7 ist also die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen auf der linken und der rechten Seite.

Gelöste Beispiele

Erstes Beispiel: Versuchen wir, die Gleichung 7x − 14 = 0 zu lösen. Die Situation ist einfach, die Gleichung ist in der allgemeinen Form, wir wenden also nur das Vorgehen an:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Zweites Beispiel: Löse die Gleichung 2x + 10 = 0. Die Gleichung ist wieder in der allgemeinen Form, du musst nur aufpassen, dass b positiv ist und dir deshalb nach der Umformung auf der rechten Seite eine negative Zahl herauskommt:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Drittes Beispiel: Löse die Gleichung 15 − 3x = 0. Die Gleichung ist fast in der allgemeinen Form, wir müssen nur die Unbekannte x an die erste Stelle bringen. Dann hat die Gleichung die Form −3x + 15 = 0. Wieder ist Vorsicht geboten, denn vor dem linearen Glied steht ein Minus, was wir bisher nicht hatten. Die Umformungen sind aber ganz dieselben:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Das Beispiel können wir auch etwas anders, auf einem längeren Weg lösen. Anstatt die Gleichung gleich durch −3 zu dividieren, können wir sie zuerst mit −1 multiplizieren und so beide Minuszeichen loswerden. Und danach dividieren wir durch drei:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Viertes Beispiel: Löse die lineare Gleichung

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Diese Gleichung ist schon etwas schwieriger, denn es kommen Brüche vor. Als Erstes müssen wir diese Brüche beseitigen. Am besten multiplizieren wir die ganze Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner. Wir haben zwei Nenner, 4 und 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 4. Wenn du keine Lust zu rechnen hast, kannst du die ganze Gleichung auch mit dem Produkt aller Nenner multiplizieren, also 4 · 2 = 8, aber das ist nicht empfehlenswert, denn damit machst du dir den nächsten Schritt schwerer. Wenn wir die Gleichung mit vier multiplizieren, beseitigen wir die Brüche, indem wir sie nach und nach kürzen und vereinfachen:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Jetzt bringen wir die Gleichung auf die allgemeine Form: x − 12 = 0, und an dieser Gleichung sehen wir schon, dass x = 12 ist.

Fünftes Beispiel / Textaufgabe: Nehmen wir zwei Brüder, Tom und Jonas. Jonas ging gleich nach der Schule arbeiten, während Tom noch an die Universität ging, wo er insgesamt fünf Jahre studierte. Jonas bekam jeden Monat ein Gehalt von 2.500 €. Obwohl Tom den Studiengang Freizeitwissenschaft mit Schwerpunkt Liegestuhl-Liegen abgeschlossen hat, gelang es ihm, eine Stelle im öffentlichen Dienst zu bekommen, wo er 3.500 € im Monat verdiente. Nach wie vielen Monaten hat Tom insgesamt genauso viel Geld verdient wie Jonas? Zur Verdeutlichung: In fünf Jahren hat Jonas 5 · 12 · 2.500 Euro verdient, während Tom nach den fünf Jahren gar nichts hat. Nach wie vielen Monaten wird dieser Betrag gleich sein?

Aus der Aufgabe können wir eine lineare Gleichung zusammensetzen: Die Variable x steht für die gesuchte Anzahl der Monate, wobei x = 0 null Monate seit dem Studienabschluss von Tom bedeutet.

Als Erstes stellen wir eine Funktion auf, die Toms Einkommen in Abhängigkeit von der Anzahl der Monate angibt. Wenn uns also z. B. Toms Einkommen nach sechs Monaten interessiert, rechnen wir einfach 3.500 · 6 = 21.000 Euro. Allgemein können wir sagen, dass Tom nach x Monaten insgesamt 3.500 · x Euro verdient hat.

Bei Jonas wäre es ähnlich: 2.500 · x, wir müssen aber noch den Betrag addieren, den er verdient hat, während Tom studierte. Tom studierte fünf Jahre, Jonas hat also während des Studiums 5 · 12 · 2.500 Euro verdient. Der ganze Term für Jonas lautet also: 5 · 12 · 2.500 + 2.500 · x.

Diese Funktionen setzen wir in eine Gleichung ein, denn uns interessiert, für welches x sich diese Verdienste gleichen:

$$5\cdot 12\cdot 2.500+2.500\cdot x=3.500\cdot x$$

Die Gleichung formen wir einfach um, indem wir alle x auf eine Seite der Gleichung bringen:

$$1000x=5\cdot 12\cdot 2.500$$

Und zum Schluss dividieren wir nur noch durch 1.000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Nach 150 Monaten haben beide gleich viel Geld. Jonas hat während Toms Studium stolze 5 · 12 · 2.500 = 150.000 Euro verdient, dazu in weiteren 150 Monaten 2.500 · 150 = 375.000, das sind insgesamt 150.000 + 375.000 = 525.000 Euro. Tom hat nur diese 150 Monate gearbeitet und in dieser Zeit 3.500 · 150 = 525.000 Euro verdient. Wir sehen, dass nach fünf Jahren Studium und weiteren 150 Monaten beide tatsächlich gleich viel verdient haben.

Weitere Beispiele

Berechne die folgende lineare Gleichung:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Als Erstes multiplizieren wir die Klammer aus:

$$2x-14=6$$

Nun lassen wir auf der linken Seite den Term mit der Unbekannten stehen und bringen alles andere auf die rechte Seite:

$$2x=20$$

… und zum Schluss dividieren wir durch zwei.

$$x=10$$

Löse die Gleichung

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Wieder multiplizieren wir als Erstes die Klammern aus:

$$9-3x+5x-10=0$$

Wir fassen zusammen, was sich zusammenfassen lässt, und bringen die Variablen auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Zum Schluss dividieren wir die ganze Gleichung durch zwei:

$$x=\frac{1}{2}$$