Yhteisen tekijän erottaminen

Ennen kuin ryhdymme yhteisen tekijän erottamiseen, käydään läpi sulkujen kertominen auki, koska se liittyy erottamiseen läheisesti. Voisi jopa sanoa, että yhteisen tekijän erottaminen on täysin päinvastainen toimitus kuin sulkujen kertominen auki.

Sulkujen kertominen auki

Sulkujen kertominen auki on yksinkertainen toimitus, jonka näytämme esimerkillä: lasketaan lauseke 3 · (5 + 8). Voimme edetä kahdella tavalla. Voimme laskea sulun sisällä olevan summan ja saamme 3 · 13, koska 5 + 8 = 13.

Toinen tapa on, että sulut kerrotaan auki. Se tarkoittaa, että otamme sulun edessä olevan luvun, kolmosen, ja kerromme sillä molemmat sulun sisällä olevat luvut. Sulun sisällä oleva plusmerkki säilyy. Saamme siis:

$$3\cdot (5+8)=(3\cdot 5+3\cdot 8)$$

Molemmat tavat johtavat samaan tulokseen: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Miksi sulkujen auki kertominen toimii

Miksi näin saa tehdä, miksi sulkujen auki kertominen toimii? Kuvitellaan tulo auki kirjoitettuna summana. Jos esimerkiksi kirjoitamme 3 · 7, sanomme sillä, että haluamme laskea luvun seitsemän kolme kertaa yhteen, eli 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

Samoin voimme kirjoittaa auki sulullisen tehtävän: 3 · (5 + 8) on sama kuin (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Koska yhteenlaskussa järjestyksellä ei ole väliä, voimme poistaa sulut ja siirtää viitoset ja kahdeksikot vierekkäin näin: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. Ja tässä näemme jo, että tämän lausekkeen voi kirjoittaa kertolaskun avulla näin: 3 · 5 + 3 · 8, eli juuri sen, mitä teimme sulkuja auki kertoessamme.

Esimerkkejä sulkujen auki kertomisesta

1. Kerro auki 5 · (4 + 7). Taas kerromme sulussa olevat luvut viidellä ja saamme 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.
2. Kerro auki 6 · (x + 4). Älä säikähdä tuntematonta, vaan kerro sekin kuudella. Saadaan: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
3. Kerro auki x · (4 + 173). Nyt tuntematon on sulun edessä, joten kerromme molemmat sulun sisällä olevat luvut x:llä. Saamme x · (4 + 173) = 4x + 173x.
4. Kerro auki: 4x · (2x + 7). Nyt tuntematon on sekä sulun edessä että sen sisällä, ja lisäksi sulun edessä on monimutkaisempi lauseke. Sekään ei haittaa, sulun sisältö kerrotaan 4x:llä näin: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Yksinkertainen yhteisen tekijän erottaminen

Yhteisen tekijän erottaminen on sulkujen auki kertomisen käänteinen menetelmä. Alussa meillä on esimerkiksi lauseke 10x + 5. Jos nyt löydämme jonkin luvun, jolla voimme jakaa molemmat yhteenlaskettavat järkevästi, voimme erottaa tämän luvun niin sanotusti sulkujen eteen. Lausekkeessamme se on luku 5, koska 10x / 5 = 2x ja 5 / 5 = 1. Voimme siis kirjoittaa, että

$$10x+5=5\cdot (2x+1).$$

Kun kerromme sulun 5 · (2x + 1) takaisin auki, saamme taas 10x + 5. Yhteisen tekijän erottamisen tavoitteena on yleensä sieventää annettua lauseketta tai saattaa se tulon muotoon, jotta sen voisi supistaa murtoluvussa.

Tuntemattoman erottaminen

Usein erotetaan itse tuntematon, eikä tarvitse erottaa vain lukua. Jos meillä on lauseke 3x² + 7x, siitä voi erottaa x:n eli jaamme molemmat termit x:llä, lisäämme sulut ja kerromme sulun x:llä. Saamme 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Yleensä pyritään erottamaan ”mahdollisimman paljon”, joten jos meillä olisi lauseke 8x² + 12x, voimme erottaa vain x:n ja saada 8x² + 12x = x · (8x + 12), mutta näemme, että sulusta voisi erottaa vielä luvun 4. Voimme tehdä sen nyt jälkikäteen ja saamme: x · (4 · (2x + 3)). Nämä ulommat sulut voi poistaa, ja saamme: 4x · (2x + 3).

Samaan tulokseen olisimme kuitenkin päätyneet, jos olisimme erottaneet alkuperäisestä lausekkeesta 8x² + 12x suoraan lausekkeen 4x. Jos kirjoittaisimme sen auki, saisimme

$$8x^2+12x=4x\cdot (8x^2/4x+12x/4x)=4x\cdot (2x+3).$$

Monimutkaisempien lausekkeiden yhteisen tekijän erottaminen

Tähän asti olemme erottaneet tekijöitä vain lausekkeista, joissa on kaksi yhteenlaskettavaa. Voimme kuitenkin erottaa myös pidemmistä lausekkeista. Esimerkiksi lausekkeesta 7x³ + 5x² + 2x voimme erottaa x:n ja saamme x · (7x² + 5x + 2).

Ei myöskään tarvitse aina erottaa jotakin kaunista lukua, voimme erottaa mitä tahansa. Esimerkiksi lausekkeesta 6x + 7 voimme erottaa luvun 2, mutta saamme ruman tuloksen, koska molemmat termit on jaettava kahdella. Termin 6x kohdalla se onnistuu hyvin, koska 6x / 2 = 3x, mutta luvun 7 kohdalla se ei onnistu kovin kauniisti: 7 / 2 = 3,5. Saamme tulokseksi lausekkeen: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Ratkaistuja esimerkkejä

• Erota jokin kaunis tekijä lausekkeesta 25x + 45. Ensi silmäyksellä näkee, että voimme erottaa luvun 5, joten saamme 5 · (5x + 9).

• Sievennä murtoluku

  $$\frac{3x^2+7x}{x}.$$

  Ensin erotetaan murtoluvun osoittajasta x. Saamme osoittajaksi x · (3x + 7). Nyt voimme supistaa koko murtoluvusta x:n.

  $$\frac{3x^2+7x}{x}=\frac{x\cdot (3x+7)}{x}=3x+7$$

• Erota jokin kaunis tekijä lausekkeesta −2x² − 8x. Tässä meillä on ensimmäistä kertaa negatiivisia lukuja. Se ei haittaa lainkaan, samoin kuin erotimme positiivisia lukuja, voimme erottaa negatiivisiakin. Voimme siis erottaa heti kerralla −2x:n. Saamme

  $$-2x^2-8x=-2x(x+4).$$