Osittelulaki

Osittelu on kahden binäärisen laskutoimituksen, kuten yhteenlaskun ja kertolaskun, ominaisuus. Kerto- ja yhteenlaskun tapauksessa osittelulaki kertoo, että voimme ”kertoa sulut auki”. Esimerkiksi jos meillä on lauseke

$$2\cdot (3+4)$$

tiedämme, että voimme niin sanotusti kertoa sulut auki, jolloin saamme toisen lausekkeen

$$2\cdot (3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4$$

Molemmat lausekkeet johtavat samaan tulokseen, lukuun 14. Tämän avaamisen saimme tehdä, koska kertolasku osittelee yhteenlaskun suhteen reaalilukujen joukossa. Yleisesti siis pätee, että jos meillä on kaksi laskutoimitusta · ja +, sanomme, että laskutoimitus · osittelee laskutoimituksen + suhteen joukossa M, jos pätee

$$\begin{array}{rcl}a\cdot (b+c)& =& (a\cdot b)+(a\cdot c)\\ (b+c)\cdot a& =& (b\cdot a)+(c\cdot a)\end{array}$$

kaikille a, b, c ∈ M. Toinen esimerkki osittelevista laskutoimituksista ovat propositiologiikan laskutoimitukset, konjunktio ∧ ja disjunktio ∨. Kuvitellaan, että meillä on väitteet A, B ja C. Jos sanomme ”A ja (B tai C)”, kirjoitamme sen muodossa

$$A\wedge (B\vee C)$$

Ja koska konjunktio osittelee disjunktion suhteen, pätee samalla

$$(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$$

Eli sanoin: ”(A ja B) tai (A ja C)”. Jotta meillä olisi esimerkki myös laskutoimituksista, jotka eivät ole osittelevia, otetaan vaikkapa yhteenlasku ja vähennyslasku:

$$10-(5+3)$$

Oikea tulos on tietysti 2, koska sulkeiden laskemisen jälkeen saamme 10 − 8, mikä on 2. Jos tähän laskuun soveltaisimme osittelulakia, saisimme lausekkeen:

$$(10-5)+(10-3)$$

Sulkeiden laskemisen jälkeen meillä olisi 5 + 7, mikä on 12. Näemme, että saimme väärän tuloksen, joten yhteenlasku ja vähennyslasku eivät ole osittelevia.

Lisää esimerkkejä: jotkin matriisien laskutoimitukset toteuttavat osittelulain. Samoin vektorit vektoriavaruudessa. Kunnan laskutoimitusten täytyy olla osittelevia.