Yhtälöryhmät

Käytännössä törmätään usein tilanteeseen, jossa ei lasketa yhtä yhtälöä vaan heti kaksi yhtälöä yhtä aikaa (tai vielä useampia). Aluksi näytetään, miten tällainen yhtälöryhmä ratkaistaan sijoitusmenetelmällä. Jos haluat ratkaista yhtälöryhmän matriisien avulla, siirry artikkeliin lineaariset yhtälöryhmät.

Perusteet

Yhtälöryhmä tarkoittaa useita yhtälöitä, jotka ratkaistaan yhdessä. Yhtälöryhmässä on yleensä myös useampi kuin yksi muuttuja, ja pyritään löytämään sellainen lukujen yhdistelmä, että kun se sijoitetaan kaikkien muuttujien paikalle, kaikki yhtälöt pitävät paikkansa.

Esimerkki yhtälöryhmästä on tämä:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Tämän yhtälöryhmän tuloksena pitäisi olla lukupari (tai joukko lukupareja), joka sijoitetaan muuttujien a ja b paikalle niin, että molemmat yhtälöt pysyvät voimassa. Silmämääräisesti nähdään, että muuttujan a täytyy olla −b, jotta yhtälö a + b = 0 toteutuu. Kun tämä tiedetään, toisesta yhtälöstä nähdään helposti, että a = 10 ja b = −10. Sijoituksen jälkeen saadaan:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

No niin, silmämääräinen ratkaisu on tehty, ja nyt siirrytään toimiviin algoritmeihin yhtälöryhmien ratkaisemiseksi.

Sijoitusmenetelmä

Sijoitusmenetelmässä ratkaistaan yksi tuntemattomista yhdestä yhtälöstä ja sijoitetaan tulos toiseen yhtälöön. Tarvitaan siis aluksi jokin yhtälöryhmä. Vaikka tämä:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Tämä on yksinkertainen kahden yhtälön ryhmä, jossa on kaksi tuntematonta. Tehtävänä on ratkaista muuttujat x ja y niin, että molemmat yhtälöt pitävät paikkansa. Ensimmäisestä yhtälöstä ratkaistaan y. Otetaan siis vain ensimmäinen yhtälö ja ratkaistaan siitä y.

$4 x + 2 y = 6$

Ensin vähennetään 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Jaetaan kahdella:

$y = 3 - 2 x$

Nyt tiedetään, mitä y on. Tämä tulos voidaan sijoittaa muuttujan y paikalle toiseen yhtälöön. Toiseen yhtälöön kirjoitetaan siis y:n tilalle 3 − 2x. Mitä sillä saavutetaan? Saavutetaan se, että toisessa yhtälössä ei ole kahta muuttujaa vaan ainoastaan yksi, koska y:n paikalle sijoitetaan lauseke, jossa on vain muuttuja x. Sijoitetaan siis:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Nyt vain kerrotaan sulku auki ja lasketaan yhteen, mikä voidaan:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Nyt tunnetaan x:n arvo, se on kaksi. Jäljellä on laskea y:n arvo. Se tehdään sijoittamalla jo tunnettu x:n arvo johonkin yhtälöön, jossa on molemmat muuttujat – sekä x että y. Voidaan valita vaikka aivan ensimmäinen yhtälö. Sijoitetaan näin:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Näin yhtälöryhmä on ratkaistu. Yhtälöryhmällä on vain yksi ratkaisu, nimittäin x = 2 ja y = −1. Jos haluat tarkistaa tuloksen, sijoita se yksinkertaisesti molempiin yhtälöihin. Sijoitus ensimmäiseen yhtälöön:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Ja sijoitus toiseen yhtälöön:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Yhteenlaskumenetelmä

Pidän tästä menetelmästä enemmän, mutta tietenkin se riippuu yksittäisestä esimerkistä. Se ei sovi aina. Yhteenlaskumenetelmän periaate on, että yhtälöiden yhteenlasku on yhtälöryhmää ratkaistaessa yhtäpitävä muunnos. Yhtälöt lasketaan yhteen laskemalla yhteen yhden yhtälön vasen puoli ja toisen yhtälön vasen puoli ja sitten yhtälöiden oikeat puolet. Tarkastellaan yleisesti tällaista yhtälöryhmää:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Näiden yhtälöiden summana saataisiin yksi yhtälö, joka määritellään näin:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Vasemmat puolet laskettiin yhteen erikseen ja oikeat puolet erikseen. Mikä on kuitenkin tavoite? Jos kaksi yhtälöä lasketaan yhteen ja jäljelle jää kaksi muuttujaa, siitä ei paljon apua ole. Siksi pyritään siihen, että yhteenlaskun jälkeen toinen muuttuja häviää, eli että termit kumoavat toisensa. Pyritään siis siihen, että jommankumman funktioparin, joko f tai g, summa on nolla:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Miten tähän päästään? Yhtälöryhmässä on tavallisia yhtälöitä, joihin voidaan soveltaa yhtälön yhtäpitäviä muunnoksia samalla tavalla kuin tavallisissa yhtälötyypeissä. Siksi jokin yhtälöistä voidaan kertoa millä tahansa luvulla, eikä yhtälön voimassaolo muutu. Ratkaistaan edellinen yhtälöryhmä yhteenlaskumenetelmällä. Tehtävänanto on siis sama:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Jos yhtälöt laskettaisiin yhteen heti, molemmat muuttujat jäisivät:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Siksi täytyy ensin tehdä joitakin muunnoksia. Pyritään saamaan muuttuja y ”katoamaan”. Siihen tarvitaan, että y:n kerroin on molemmissa yhtälöissä yhtä suuri, merkkiä lukuun ottamatta – sen täytyy olla vastakkainen. Etsitään siis pienintä yhteistä jaettavaa, joka on 6. Yksinkertainen tapa on kertoa kertoimet keskenään: kaksi kertaa kolme on kuusi – luku kuusi on siis varmasti jaollinen molemmilla luvuilla (huomautus: tämä tapa ei takaa pienintä yhteistä jaettavaa, mutta löytää luvun, joka on jaollinen molemmilla kertoimilla).

Nyt pyritään saamaan y:n eteen kummassakin yhtälössä kuusi. Ensimmäinen yhtälö kerrotaan siis kolmella, toinen kahdella:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Saadaan:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Nyt yhtälöt lasketaan yhteen:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Saatiin siis yksi yhtälö, jossa on yksi tuntematon, ja sellaisen osaa jo ratkaista helposti:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Nähdään, että tulos on sama kuin edellisellä, sijoitusmenetelmällä. Nyt x sijoitettaisiin taas johonkin yhtälöön ja saataisiin tulos y = −1. Tarkistus tehtäisiin myös aivan samoin.

Ratkaisujen lukumäärä

Yhtälöryhmällä ei tarvitse olla vain täsmälleen yhtä ratkaisua. Sillä voi olla myös äärettömän monta ratkaisua tai päinvastoin ei yhtään ratkaisua. Lyhyesti siitä, milloin näin käy. Jos on kaksi yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta, ja toinen yhtälöistä voidaan ilmaista toisen yhtälön avulla soveltamalla siihen joitakin yhtäpitäviä muunnoksia, yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Esimerkkinä olkoon yhtälöryhmä

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Nähdään, että jos ensimmäinen yhtälö kerrotaan kahdella, saadaan täsmälleen toinen yhtälö. Toinen yhtälö ei siis anna yhtälöryhmästä mitään ”uutta tietoa”, joten se on käytännössä turha. Kokonaisuutena tämä näkyy siten, että yhtälön

$x + y = 2$

mikä tahansa ratkaisu on samalla koko yhtälöryhmän ratkaisu. Esimerkiksi parit (1, 1) ja (−3, 5) ovat ensimmäisen yhtälön ratkaisuja ja samalla koko yhtälöryhmän ratkaisuja.

Yhtälöryhmällä ei sen sijaan ole yhtään ratkaisua, jos ryhmässä on keskenään ristiriitaisia yhtälöitä, jotka eivät voi päteä samaan aikaan. Esimerkiksi:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Ei voi päteä samaan aikaan, että summa x + y on sekä kaksi että neljä, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Vielä muutama esimerkki:

Ensimmäinen esimerkki

Ratkaise seuraava kahden yhtälön ryhmä, jossa on kaksi tuntematonta:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Pikaisella silmäyksellä nähdään, että tämä sopii hyvin yhteenlaskumenetelmälle. Muuttujan x kerroin on toisessa yhtälössä kaksi kertaa niin suuri kuin ensimmäisessä ja y:n kerroin kolme kertaa niin suuri. Riittää siis kertoa ensimmäinen yhtälö joko miinus kahdella tai miinus kolmella ja laskea yhtälöt yhteen. Yritetään eliminoida muuttuja x, joten kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla −2. Saadaan:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Lasketaan nämä kaksi yhtälöä yhteen ja saadaan

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Saatiin yhtälöryhmän ensimmäinen tulos. Tämä tulos sijoitetaan johonkin yhtälöön, voidaan taas sijoittaa aivan ensimmäiseen yhtälöön:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Näin saatiin yhtälöryhmän tulos, x = 9 ja y = −14.

Toinen esimerkki

Ratkaise seuraava kahden yhtälön ryhmä, jossa on kaksi tuntematonta:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Tämä näyttää vähän villiltä, mutta onnistuu. Ensimmäiseksi täytyy kertoa sulut auki, ilman sitä ei päästä juuri mihinkään.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Nyt yhtälöt muokataan käyttökelpoisempaan muotoon: muuttujat siirretään yhtälön vasemmalle puolelle ja vakiotermit oikealle, ja lisäksi vähennetään, mitä voidaan.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Nyt rumannäköisistä yhtälöistä saatiin jo melko käyttökelpoinen yhtälöryhmä, ja voidaan soveltaa jotakin klassisista menetelmistä. Voidaan vaikka kertoa toinen yhtälö kahdella ja laskea se yhteen ensimmäisen kanssa. Kun toinen yhtälö on kerrottu kahdella, saadaan:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Nyt lasketaan molemmat yhtälöt yhteen perinteisellä yhteenlaskumenetelmällä:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Hienoa, yksi tulos tiedetään jo. Tämä tulos sijoitetaan johonkin yhtälöistä ja lasketaan y. Voidaan sijoittaa vaikka yhtälöön 2x− 3y = −13, ja saadaan:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Nyt tiedetään yhtälöryhmän koko tulos – ratkaisu on x = 4 ja y = 7.

« Edellinen: Trigonometriset epäyhtälöt

Seuraava: Luvut »