Commutativité

La commutativité est une propriété d’opérations comme l’addition. On peut remarquer que, pour l’addition, l’ordre n’a pas d’importance : 3 + 5 est la même chose que 5 + 3. Quels que soient les deux nombres réels que l’on additionne, a + b, le résultat est le même si l’on échange les termes : b + a. Lorsqu’une opération vérifie cette condition, on dit qu’elle est commutative.

La multiplication est un autre exemple d’opération commutative, car 2 · 6 donne le même résultat que 6 · 2, et il en va de même pour deux nombres quelconques a, b :

$$a\cdot b=b\cdot a$$

La soustraction est un exemple d’opération qui n’est pas commutative, car 7 − 4 n’est pas la même chose que 4 − 7. Dans le premier cas, on obtient 3, dans le second −3. La division en est un autre exemple, car 2 / 5 n’est pas la même chose que 5 / 2.

Fais cependant attention aux autres propriétés des opérations, par exemple à la priorité de la multiplication. Avec l’expression 1 + 2 · 3, on ne peut pas dire que c’est la même chose que 2 + 1 · 3. En effet, la multiplication est prioritaire sur l’addition. Les parenthèses peuvent nous aider : l’expression 1 + 2 · 3 est la même que 1 + (2 · 3). Si l’on veut appliquer la commutativité de l’addition, on le peut, mais il faut déplacer toute la parenthèse d’un bloc : 1 + (2 · 3) est égal à (2 · 3) + 1, et c’est égal à (3 · 2) + 1 si l’on applique en plus la commutativité de la multiplication.

Opérations sur les ensembles et commutativité

Il n’y a pas que les opérations sur les nombres qui peuvent être commutatives, c’est aussi le cas par exemple des opérations sur les ensembles. Ainsi, l’intersection des ensembles A et B est une opération commutative. L’intersection de deux ensembles est formée des « éléments qui se trouvent dans les deux ensembles », donc

$$A\cap B=B\cap A$$

Il en va exactement de même pour la réunion des ensembles A et B, dont le résultat est formé des « éléments qui se trouvent dans au moins un des ensembles », et donc :

$$A\cup B=B\cup A$$

La différence d’ensembles, par exemple, n’est pas commutative.

Vecteurs

Parmi les autres opérations commutatives, on trouve l’addition de vecteurs – en général, l’addition est le plus souvent une opération commutative. Dans ce cas, si l’on a deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, alors

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

La figure suivante l’illustre :

La somme $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ est représentée par le « chemin du haut » : on applique d’abord le vecteur rouge $\overrightarrow{u}$, puis le vecteur bleu $\overrightarrow{v}$. La somme $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ est représentée par le « chemin du bas » : on suit d’abord le chemin du vecteur bleu $\overrightarrow{v}$, puis celui du vecteur rouge $\overrightarrow{u}$. Le résultat est pourtant le même : les vecteurs aboutissent au même point.

Tu peux l’imaginer comme si tu partais d’un endroit, que tu marchais cinquante mètres vers le nord, puis vingt mètres vers l’ouest. Si tu marchais d’abord vingt mètres vers l’ouest, puis cinquante mètres vers le nord, tu arriverais au même endroit. Marcher ainsi est donc commutatif.

Logique

Les opérateurs logiques « et » (conjonction) et « ou » (disjonction) sont eux aussi des opérations commutatives. Cela signifie que la proposition « le nombre 5 est impair et premier » a la même valeur de vérité que la proposition « le nombre 5 est premier et impair ». De même pour la disjonction : « le nombre 6 est premier ou pair » a la même valeur de vérité que « le nombre 6 est pair ou premier ».

En revanche, l’implication n’est pas commutative : la proposition « si je gagne au loto, alors je serai riche » n’est pas la même chose que « si je suis riche, alors je gagnerai au loto ».