Associativité

L’associativité est une propriété d’opérations comme l’addition ou la multiplication. Regarde donc les deux écritures suivantes d’une addition :

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Les expressions ne diffèrent que par l’emplacement des parenthèses. Mais les résultats diffèrent-ils ? Les deux expressions mènent au même résultat : la somme est toujours égale à 6. Si la place des parenthèses n’a pas d’influence sur le résultat, on dit que l’opération est associative. Plus précisément, on peut écrire que l’opération a ∘ b est associative si

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

La multiplication est une autre opération associative, car

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Opérations qui ne sont pas associatives

La soustraction n’est pas associative. Prenons par exemple l’expression (10 − 4) − 3. On calcule d’abord la différence entre parenthèses et on obtient 6 − 3, c’est-à-dire 3. Mais si l’on essaie de calculer 10 − (4 − 3), on calcule de nouveau d’abord le contenu de la parenthèse et on obtient 10 − 1, c’est-à-dire 9. La soustraction n’est donc pas associative.

La division n’est pas non plus associative. Prenons l’expression (64 / 4) / 2. On calcule d’abord la parenthèse et on obtient 16/2, c’est-à-dire 8. Mais si l’on place la parenthèse ailleurs, on obtient 64 / (4 / 2), et après avoir calculé la parenthèse, on a 64 / 2, c’est-à-dire 32. La division n’est donc pas associative.

Une autre opération typique qui n’est pas associative est la puissance :

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

L’associativité concerne une seule opération !

Fais attention : l’associativité concerne toujours une seule opération. Si une expression comporte trois nombres mais pas la même opération partout, on ne peut pas appliquer la règle d’associativité. Par exemple :

$$(1+2)\cdot 3$$

l’expression contient deux opérations : l’addition et la multiplication. Chacune de ces opérations est associative en elle-même, mais on ne peut pourtant pas appliquer ici la règle d’associativité, on ne peut pas transformer l’expression en

$$1+(2\cdot 3)$$

car l’expression contient deux opérations différentes. Pour pouvoir appliquer la règle d’associativité, il faudrait que les deux opérations soient des additions ou que les deux soient des multiplications.

Intersection et réunion

L’intersection d’ensembles est associative. Par exemple :

$$(\{1;2;3\}\cap \{1;3;5\})\cap \{1;5;7\}$$

on la transformerait d’abord en calculant l’intersection des ensembles entre parenthèses :

$$\{1;3\}\cap \{1;5;7\}$$

et l’intersection de ces ensembles est égale à {1}. Si l’on déplaçait les parenthèses, on obtiendrait

$$\{1;2;3\}\cap (\{1;3;5\}\cap \{1;5;7\})$$

et après avoir calculé la parenthèse :

$$\{1;2;3\}\cap \{1;5\}$$

On obtiendrait de nouveau {1}. On voit que la place des parenthèses n’a pas d’importance, et l’intersection d’ensembles est donc associative. La réunion d’ensembles serait associative de la même façon.

Assemblage de mots / concaténation

Imagine que nous ayons une opération d’addition pour des morceaux de mots, qui consisterait simplement à les mettre bout à bout. Ainsi, « ordi » + « nateur » serait égal au mot « ordinateur ». Une telle opération serait associative. Par exemple, si l’on écrivait (« am » + « pou ») + « le », on obtiendrait d’abord, en additionnant dans la parenthèse, « ampou » + « le », ce qui donnerait le mot « ampoule ». Si l’on déplaçait les parenthèses, « am » + (« pou » + « le »), on obtiendrait après l’addition dans la parenthèse « am » + « poule », ce qui donnerait de nouveau le mot « ampoule ».

Le maximum ou le minimum est associatif

Imaginons une opération a ∨ b qui nous renvoie le plus grand de deux nombres. Une telle opération serait associative. Par exemple, (5 ∨ 10) ∨ 7 se transformerait en 10 ∨ 7, qui est égal à 10. Dix est le plus grand de ces trois nombres. Si l’on déplaçait les parenthèses, on obtiendrait 5 ∨ (10 ∨ 7), puis 5 ∨ 10, qui vaut de nouveau 10.

Le minimum se comporterait exactement de la même façon.