Intervalle

Les intervalles sont très utilisés en mathématiques et interviennent dans de nombreuses définitions. Un intervalle est un ensemble de points limité par deux extrémités. On distingue en outre les intervalles ouverts et les intervalles fermés.

Description de base

Nous utilisons les intervalles même dans le langage courant, par exemple : « pour avoir la mauvaise couleur d’yeux, tu peux écoper d’une amende de l’Union européenne comprise entre dix et vingt mille euros ». Dans cet exemple, on emploie les mots « comprise entre », mais mathématiquement, il s’agit d’un intervalle. Seulement voilà, des questions piégeuses se posent : peux-tu recevoir une amende d’exactement dix mille euros, ou la borne n’est-elle pas comptée ? Avec quelle finesse peut-on fixer l’amende ? Peut-on infliger une amende de 18 541,97 euros ? Ou peut-on seulement procéder par centaines ? C’est-à-dire soit 18 500, soit 18 600 ?

Tout cela se règle avec la notation mathématique. Il faut y dire deux choses essentielles : dans quel ensemble on se place (dans le contexte de l’exemple : des centaines ? des milliers ? des euros entiers ?) et si les extrémités appartiennent à l’intervalle (peut-on recevoir une amende d’exactement dix ou vingt mille euros ?).

La bonne nouvelle, c’est que dans l’immense majorité des cas en mathématiques, on travaille avec des intervalles de l’ensemble des nombres réels ; donc si tu rencontres un intervalle sans précision de l’ensemble, il s’agit sûrement de nombres réels.

Nous avons l’ensemble de départ ; comment indiquer maintenant si on veut tenir compte des extrémités ? Les intervalles s’écrivent avec des crochets. Un crochet tourné vers l’intérieur de l’intervalle signifie que l’extrémité appartient à l’intervalle, un crochet tourné vers l’extérieur signifie qu’elle n’y appartient pas. C’est ce qu’on appelle la fermeture et l’ouverture. Si l’extrémité appartient à l’intervalle, l’intervalle est fermé ; si elle n’y appartient pas, il est ouvert.

Exemples

Voici des exemples (tous dans l’ensemble des nombres réels, sauf indication contraire) :

• [1 ; 2]   Intervalle fermé de un à deux. Tous les nombres réels compris entre un et deux appartiennent à l’intervalle, un et deux inclus.
• ]1 ; 2[   Intervalle ouvert de un à deux. Tous les nombres réels compris entre un et deux appartiennent à l’intervalle, mais les nombres un et deux eux-mêmes n’y appartiennent pas.
• [0 ; 1[   L’intervalle est fermé à gauche et ouvert à droite. Tous les nombres compris entre zéro et un appartiennent à l’intervalle, zéro lui-même inclus, mais un n’appartient pas à l’intervalle.
• ]p ; q]   L’intervalle est ouvert à gauche et fermé à droite. Tous les nombres compris entre p et q appartiennent à l’intervalle, q inclus, mais p exclu.
• [0 ; +∞[   Intervalle fermé à gauche et ouvert à droite. Si l’infini figure dans l’intervalle, utilise de ce côté un intervalle ouvert : l’infini n’a pas d’extrémité finie, un intervalle fermé n’y a pas de sens.
• [1 ; 5] ⊂ ℕ^*   Ici, il y a un changement : nous ne travaillons pas dans l’ensemble des nombres réels, mais dans l’ensemble des entiers naturels. L’intervalle est fermé des deux côtés et il contient donc en tout cinq nombres : 1, 2, 3, 4 et 5.
• ]1 ; 5] ⊂ ℕ^*   Même cas que tout à l’heure, sauf que l’intervalle est ouvert à gauche : un n’appartient donc pas à l’intervalle, et la liste de tous les éléments de l’intervalle est : 2, 3, 4 et 5.

Intervalle comme ensemble

Comme on le voit, un intervalle n’est rien d’autre qu’un sous-ensemble de l’ensemble sur lequel il est défini. On peut donc travailler avec les intervalles comme avec des ensembles et effectuer avec eux des opérations sur les ensembles. Par exemple, la réunion pourrait ressembler à ceci :

$$[0;5]\cup [5;10]=[0;10]$$

Attention aux intervalles ouverts : l’égalité n’y serait pas vraie, car cinq n’appartient pas à l’intervalle obtenu :

$$]0;5[\cup ]5;10[\ne ]0;10[$$

La bonne écriture pourrait être, par exemple :

$$]0;5[\cup ]5;10[=]0;10[\setminus \{5\}$$

Quand utiliser un intervalle ouvert

Il est nécessaire de comprendre la différence entre un intervalle ouvert et un intervalle fermé. Un cas fréquent d’utilisation d’un intervalle ouvert est par exemple l’ensemble de définition du logarithme. On peut calculer le logarithme de n’importe quel nombre réel strictement positif, ce qui veut dire qu’on ne peut pas le calculer pour un nombre négatif, ni pour zéro. Comment l’écrire ?

$${\mathcal{D}}_{\ln }=]0;+\mathrm{\infty }[$$

Cette écriture dit qu’on peut calculer le logarithme d’un nombre strictement positif aussi petit qu’on veut, mais pas celui de zéro. Ainsi, par exemple, le nombre 1 appartient à l’intervalle, le nombre 0,001 aussi, de même que le nombre 0,0000000001 ou 10⁻⁶⁶⁶. Mais zéro n’appartient plus à l’intervalle. On pourrait écrire de façon analogue l’ensemble de définition d’une fonction avec une fraction, par exemple celui de la fonction toute simple f(x) = 1/x.

$${\mathcal{D}}_f=]-\mathrm{\infty };0[\cup ]0;+\mathrm{\infty }[$$

Cela délimite l’ensemble des nombres réels privé de zéro. Dans aucun des deux intervalles, zéro n’est à la place d’une extrémité fermée, donc zéro ne sera pas non plus dans la réunion finale. En revanche, on peut utiliser n’importe quel nombre positif aussi petit qu’on veut ou n’importe quel nombre négatif aussi grand qu’on veut (pour les nombres négatifs, −0,001 est plus grand que −0,1, d’où « aussi grand qu’on veut » et non « aussi petit qu’on veut »).

Interprétation géométrique

On représente en général les intervalles sur une droite graduée sous forme de segments ; on choisit les extrémités selon que l’intervalle est fermé ou ouvert. Si l’intervalle est fermé, le petit rond qui représente le point est plein ; s’il est ouvert, il est vide, c’est seulement un contour, juste un cercle.

La figure suivante montre trois intervalles, chaque fois de deux à six, qui diffèrent par la fermeture de leurs extrémités. Dans l’ordre, on y voit donc ces intervalles : [2 ; 6], ]2 ; 6], ]2 ; 6[.