D’où vient le nombre e

Le nombre d’Euler est l’une des constantes mathématiques les plus célèbres, avec par exemple le nombre pi – π. Nous allons voir comment on est arrivé à ce nombre et ce qu’il signifie.

Au XVIIᵉ siècle, le mathématicien suisse Jacques Bernoulli s’intéressait aux intérêts composés. Imaginons que nous avons 1 € que nous plaçons dans une banque qui nous offre 100 % d’intérêt par an. Pour une banque, c’est de la pure folie, mais que ne ferait-elle pas pour le bien des mathématiques ! Combien d’argent aurons-nous exactement sur le compte au bout d’un an ? Eh bien, nous aurons 2 €.

Comment la situation changerait-elle si la banque nous proposait 50 % d’intérêt, versé tous les six mois ? Serait-ce plus avantageux pour nous, ou moins ?

Après les six premiers mois, nous aurions la moitié en plus. « La moitié en plus » s’écrit en mathématiques $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. À la place de x, on met notre dépôt, donc 1 €, et on calcule

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Après six mois, nous avons 1,5 € sur le compte. Après les six mois suivants, nous aurions de nouveau la moitié en plus. On utilise la même formule, en remplaçant simplement x par notre nouveau solde, c’est-à-dire 1,5 :

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Au bout d’un an, nous avons donc 2,25 € sur le compte. Capitaliser plus souvent avec un taux plus faible est donc avantageux pour nous.

Intérêts calculés chaque mois

Et si la banque nous proposait de capitaliser chaque mois, mais avec un taux égal à un douzième du taux initial ? Ouf, cela fait déjà pas mal de calculs. Quel sera notre solde après le premier mois ? Nous aurons « un douzième en plus », ce qui s’écrit $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Après le premier mois, nous aurons donc :

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Après le deuxième mois, nous aurons

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Remarque toutefois qu’à la place du nombre 1,0833333 on peut écrire $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, puisqu’on sait que ces nombres sont égaux :

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Après le troisième mois, nous aurons sur le compte :

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Comme tu le vois, notre calcul suit un certain schéma. La parenthèse s’y répète autant de fois que le numéro du mois que l’on calcule. On peut simplifier l’expression précédente : au lieu de trois parenthèses identiques, on en écrit une seule, élevée à la puissance 3 :

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Et la multiplication par 1 au début est inutile elle aussi, donc on la supprime :

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Pour calculer le solde au bout de douze mois, il suffit de mettre 12 dans l’exposant à la place de 3 :

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Au bout de douze mois, nous avons sur le compte environ 2,6130352 €. Ce n’est pas mal ! Et c’est bien mieux qu’avec un taux annuel de 100 %.

Intérêts continus

Nous n’avons pas besoin de nous arrêter aux mois. Combien aurions-nous si nous capitalisions chaque semaine avec un taux égal à $\frac{1}{52}$ du taux initial ? Comme nous connaissons déjà la formule, il suffit de remplacer :

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Et avec des intérêts quotidiens ?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Des intérêts toutes les heures ? (Une année compte 8 760 heures.)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

On voit que chaque fois qu’on prend un taux plus faible et qu’on capitalise plus souvent, on finit avec un peu plus d’argent sur le compte. Mais les gains ne sont plus aussi importants. On pourrait continuer ainsi à l’infini. D’ailleurs, ce n’est pas une mauvaise idée : on pourrait capitaliser chaque minute, chaque seconde, chaque milliseconde, chaque nanoseconde… jusqu’à capitaliser en permanence. Nous aurions un minuscule taux continu, avec lequel nous capitaliserions le solde à chaque instant. Combien d’argent aurions-nous alors sur le compte au bout d’un an ?

Retour au nombre d’Euler

C’est la question que Jacques Bernoulli a cherché à résoudre. Pour son malheur, il n’y est pas parvenu ; c’est seulement au XVIIIᵉ siècle que le célèbre mathématicien Leonhard Euler l’a fait. Il a calculé qu’au bout d’un an nous aurions sur le compte

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

euros. Tu vois que ce n’est guère plus que lorsque les intérêts étaient versés toutes les heures. Et comme ce solde, ce nombre, s’est révélé très important dans de nombreux domaines des mathématiques, on l’appelle aujourd’hui le nombre d’Euler et on le note avec la lettre e. Le nombre d’Euler est un nombre irrationnel, c’est-à-dire un nombre dont le développement décimal est infini et non périodique, comme par exemple le nombre π. Tu ne le verras donc jamais en entier. Pourtant, on peut définir précisément le nombre d’Euler à l’aide d’une limite de fonction :

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Sources et liens

• Un excellent épisode de la chaîne anglophone Numberphile sur le nombre d’Euler.
• Comment calculer les intérêts d’un prêt immobilier