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Nombres algébriques

Un nombre qui est racine d’un polynôme à coefficients entiers s’appelle un nombre algébrique. Que cela signifie-t-il concrètement ? On peut prendre n’importe quel nombre et jouer avec lui à un petit jeu mathématique. Le but du jeu est de prendre un nombre x et de le ramener à zéro, mais en n’utilisant que l’addition, la soustraction, la multiplication et les puissances, et en n’employant que des entiers relatifs dans les calculs. Les exemples rendront cela plus clair.

Prenons pour commencer le nombre 42. Comment le transformer pour obtenir zéro ? On peut lui soustraire l’entier 42 et l’on obtient zéro (multiplier par zéro n’est pas autorisé) :

42−42=0

Comme nous avons réussi à ramener le nombre 42 à zéro, le nombre 42 est algébrique. C’était plutôt trivial. Et une fraction, par exemple 73 ? Comme nous ne pouvons travailler qu’avec des entiers, nous ne pouvons pas soustraire 73 de cette fraction pour obtenir zéro. Il faut s’y prendre autrement. Multiplions d’abord la fraction par trois :

3⋅73=3⋅73=7

Nous avons obtenu un entier, et cela, nous savons le ramener à zéro : on soustrait sept. On peut donc écrire

3⋅73−7=0

et dire que la fraction sept tiers est aussi un nombre algébrique. Prenons un nombre encore plus compliqué, la racine carrée de deux : 2. Aucune multiplication ni addition ne nous aidera, il faut d’abord se débarrasser de la racine. Élevons l’expression au carré :

(2)2=2

Nous avons obtenu un entier que nous savons ramener à zéro, on soustrait deux :

(2)2−2=0

Même la racine carrée de deux, qui est un nombre irrationnel, est un nombre algébrique. Pour l’instant, il semble que tout nombre que l’on essaie soit algébrique. Et par exemple le nombre e ? Il est lui aussi irrationnel, donc son développement décimal est infini et sans répétition, comme celui de la racine carrée de deux. Sa valeur approchée est 2,71. Mais contrairement à la racine carrée de deux, il n’existe aucun moyen de le ramener à zéro avec les opérations que nous nous sommes autorisées. Que l’on additionne le nombre e avec quelque chose, qu’on le multiplie ou qu’on l’élève à une puissance, on obtient toujours un autre nombre irrationnel. Le nombre e n’est donc pas un nombre algébrique, hourra !

De même, le nombre pi (3,14) n’est pas un nombre algébrique.

Les nombres qui ne sont pas algébriques s’appellent des nombres transcendants.

Définition plus précise

Pour tout nombre algébrique, il doit donc exister un polynôme à coefficients entiers dont ce nombre algébrique est justement une racine. Une racine d’un polynôme est un nombre pour lequel le polynôme est égal à zéro. Pour revenir aux exemples du début, pour le nombre 42 nous obtiendrions l’équation

x−42=0

et comme la racine du polynôme x − 42 est justement x = 42, cela signifie que 42 est un nombre algébrique. Pour le nombre rationnel 73, ce serait l’équation

3x−7=0

car la racine du polynôme 3x − 7 est justement x=73. Et enfin, pour la racine carrée de deux, nous obtiendrions

x2−2=0

car la racine du polynôme x2 − 2 est justement la racine carrée de deux. Pour le nombre e ou pour π, nous ne savons construire aucune équation ni aucun polynôme de ce genre, car ce sont des nombres transcendants et non des nombres algébriques.

Exemples de nombres algébriques

  • Tout entier relatif est aussi algébrique.
  • Tout nombre rationnel (fraction) est algébrique.
  • Les nombres irrationnels sont plus compliqués. Comme nous l’avons vu, certains nombres irrationnels sont algébriques, comme la racine carrée de deux, mais d’autres ne le sont pas, comme le nombre e.
  • Toute racine n-ième d’un entier relatif est algébrique.
  • Le nombre d’or est un nombre algébrique.

Liens et sources